Con las mismas hipótesis, supongamos que el punto D está sobre una de las asíntotas, y que las restantes construcciones son idénticas, entonces la recta que pasa por los puntos de división será paralela a la asíntota sobre la que el punto está situado, y prolongada cortará a la hipérbola. Además la recta trazada desde el punto de corte hasta D será tangente a la sección.

Sea una hipérbola con sus asíntotas Paso 1, y tomemos D sobre una de las asíntotas Paso 2. Supongamos las rectas trazadas y divididas como antes Paso 3, y tracemos desde D una tangente DB a la hipérbola Paso 4. Digo que la recta trazada desde B paralela a PO pasa por K y L Paso 5.

Supongamos que no, entonces pasará solo por uno o no pasará por ninguno. Supongamos que solo pasa por K, así ${\displaystyle \frac{\mathrm{F}\mathrm{D}}{\mathrm{D}\mathrm{G}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{F}\mathrm{T}}{\mathrm{T}\mathrm{G}}}$ [Prop. III.35]. Pero esto es imposible. Así la recta trazada desde B paralela a PO no pasará solo por K. Así pasará por ambos puntos K y L.

Q. E. D.