Si las secciones opuestas tocan a las otras en un solo punto, no las cortarán en más de otros dos.

Caso 1 Sean AB y CD un par de hipérbolas opuestas, y D y EF otro par de hipérbolas opuestas, y supongamos que BCD es tangente a AB en B, con convexidades en sentido contrario, y en primer lugar, supongamos que BCD corta a CD en dos puntos C y D. En efecto, ya que BCD corta a CD en dos puntos con sus convexidades en sentido contrario, EF no corta a AB [Prop. IV.41]. Ya que BCD es tangente a AB en B, y sus convexidades están en sentido contrario, EF no cortará a CD [Prop. IV.54]. Así EF no cortará a ninguna de las hipérbolas AB y CD, así estas hipérbolas se cortarán solo en dos puntos C y D.

Caso 2 Supongamos ahora que BC corta a CD en un punto C. Así EF no cortará a CD [Prop. IV.54], mientras que cortará a AB en un solo punto, pues si EF corta a AB en dos puntos, BC no cortará a CD [Prop. IV.41]. Pero hemos supuesto que se cortan en un punto.

Caso 3 Si BC no corta a la hipérbola D, entonces como se ha dicho antes, EF no corta a D [Prop. IV.54], mientras que EF no corta a AB en más de dos puntos [Prop. IV.37].

Si las hipérbolas tienen sus convexidades en el mismo sentido Caso 4, Caso 5, Caso 6, se aplica la misma demostración.

Por tanto en todas la disposiciones posibles, las demostraciones prueban que lo propuesto es evidente.

Q. E. D.