Una parábola no toca a otra en más de un punto.

Supongamos que las parábolas AGB y AMB son tangentes entre sí en los puntos A y B Paso 1, y sean AL y LB tangentes a las parábolas Paso 2, serán por tanto tangentes a ambas secciones y se cortarán en L. Bisequemos la recta de unión AB Paso 3 en F Paso 4, y tracemos la recta de unión LF Paso 5.

Ya que la dos rectas AGB y AMB son tangentes en dos puntos A y B no se cortarán en ningún otro punto [Prop. IV.27, Prop. IV.28 y Prop. IV.29], luego LF corta a ambas secciones. Supongamos que G y M son dichos puntos de corte. En una sección LG=GF [Prop. I.35], y en la otra sección LM=MF, lo que es imposible. Así una parábola no puede ser tangente a otra en más de un punto.

Q. E. D.