Si una hipérbola es tangente en dos puntos a una de las secciones opuestas, su sección opuesta no encontrará a la otra.

Sean ADB y E las hipérbolas opuestas Paso 1, y sea AC la hipérbola tangente a ADB en los puntos A y B, y sea F la hipérbola opuesta de AC Paso 2. Digo que F no corta a E.

Supongamos que la corta en el punto E Paso 3, y tracemos desde A y B tangentes AG y GB a las hipérbolas Paso 4. Tracemos las rectas de unión AB Paso 5 y EG, y prolonguemos EG, que cortará a ambas hipérbolas como EGCDH Paso 6. Ya que AG y GB son tangentes a la hipérbola, y AB es la recta de unión de los puntos de contacto, en una de las hipérbolas conjugadas ${\displaystyle \frac{\mathrm{H}\mathrm{D}}{\mathrm{D}\mathrm{G}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{H}\mathrm{E}}{\mathrm{E}\mathrm{G}}}$, y en la otra hipérbola ${\displaystyle \frac{\mathrm{H}\mathrm{C}}{\mathrm{C}\mathrm{G}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{H}\mathrm{E}}{\mathrm{E}\mathrm{G}}}$, lo que es imposible. Así F no corta a E.

Q. E. D.