Si
una hipérbola es tangente en dos puntos a una de las secciones opuestas, su sección opuesta no encontrará a la otra.
Sean ADB y E las hipérbolas opuestas ,
y sea AC la hipérbola tangente a ADB en los puntos A y B, y sea F la hipérbola opuesta de AC
.
Digo que F no corta a E.
Supongamos que la corta en el punto E ,
y tracemos desde A y B tangentes AG y GB a las hipérbolas .
Tracemos las rectas de unión AB y EG,
y prolonguemos EG, que cortará a ambas hipérbolas como EGCDH .
Ya que AG y GB son tangentes a la hipérbola, y AB es la recta de unión de los puntos de contacto, en una de las hipérbolas conjugadas \(\rm\dfrac{HD}{DG}=\dfrac{HE}{EG}\), y en la otra hipérbola \(\rm\dfrac{HC}{CG}=\dfrac{HE}{EG}\), lo que es imposible. Así F no corta a E.
Q. E. D.