Si una elipse toca a otra o a una circunferencia del mismo centro en dos puntos, la recta de contactos pasará por el centro.

Supongamos que las secciones anteriormente mencionadas se tocan en A y B Paso 1. Tracemos la recta de unión AB Paso 2 y tracemos desde A y B tangentes a la secciones, y supongamos que se cortan en L Paso 3. Bisequemos AB en F Paso 4, y tracemos la recta de unión LF Paso 5. Así LF es un diámetro de las secciones [Prop. II.29]. Supongamos que D es el centro de las secciones Paso 6. Así LD∙DF=DG², de acuerdo a las propiedades de una sección, pero LD∙DF=DM² de acuerdo a las propiedades de la otra sección, luego DG²=DM² [Prop. I.37], lo que es imposible. Así las tangentes trazadas desde A y B a las secciones no se cortan Paso 7. Así son paralelas, y por la misma razón AB es un diámetro [Prop. II.27], por tanto pasa por el centro, como queríamos demostrar.

Q. E. D.