Con las mismas hipótesis Paso 1, si D está sobre una de las asíntotas Paso 2, DE corta a la hipérbola en dos puntos Paso 3, DG es paralela a la otra asíntota Paso 4 y corta a la hipérbola únicamente en el punto G, y ${\displaystyle \frac{\mathrm{D}\mathrm{E}}{\mathrm{D}\mathrm{H}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}\mathrm{K}}{\mathrm{K}\mathrm{H}}}$ y GL=DG Paso 5, la recta trazada por K y L será paralela a la asíntota, y corta a la hipérbola, y la recta trazada desde el punto de corte hasta D será tangente a la hipérbola Paso 6. Digo que la recta trazada desde B paralela a la asíntota PO pasará por K y L Paso 7.

En efecto, si pasa solo por K, DG≠GL [Prop. III.34], lo que es imposible. Y si pasa solo por L, entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{D}\mathrm{E}}{\mathrm{D}\mathrm{H}}}\ne {\displaystyle \frac{\mathrm{E}\mathrm{K}}{\mathrm{K}\mathrm{H}}}$ [Prop. III.35], y si no pasa ni por K ni por L, entonces la imposibilidad se produce en ambos casos. Pasará por tanto por ambos puntos.

Q. E. D.