Si
las secciones opuestas de una hipérbola son respectivamente tangentes a las de otra hipérbola, siendo cóncavas en la misma dirección, no habrá ninguno otro punto de encuentro.
Supongamos que las hipérbolas opuestas son tangentes entre sí en los puntos A y D .
Digo que no se cortan en ningún otro punto.
Supongamos que se cortan en E .
Ya que una hipérbola es tangente a una de las hipérbolas opuestas en el punto D y la corta en un punto E,
entonces la hipérbola AB no corta a la hipérbola AC en más de un punto [Prop. IV.49].
Tracemos desde A y D tangentes AH y HD a las hipérbolas ,
tracemos la recta de unión AD ,
tracemos desde E una paralela EBC a AD ,
y tracemos por H el segundo diámetro HKL de las hipérbolas opuestas [Prop. II.38]
.
Entonces bisequemos AD en K. Así EB y EC son bisecadas en L [Prop. II.39]. Así BL=LC, pero esto es imposible. Así las hipérbolas no se cortan en otro punto.
Q. E. D.