Si una hipérbola corta a una de las secciones opuestas en cuatro puntos, su sección opuesta no encontrará a ninguna otra.

Sean ABCD y E las hipérbolas opuestas Paso 1, y sea una hipérbola que corta a ABCD en cuatro puntos A, B, C y D y sea K su hipérbola opuesta Paso 2. Digo que K no corta a E.

Supongamos que la corta en K Paso 3. Tracemos las rectas de unión AB y CD y prolonguémoslas Paso 4. Entonces estas se cortan entre sí en un punto L Paso 5, y sea \(\rm\dfrac{AP}{PB}=\dfrac{AL}{LB}\) y \(\rm\dfrac{DR}{RC}=\dfrac{DL}{LC}\) Paso 6.

Así la recta de unión PR corta a cada una de las secciones Paso 7, y las rectas trazadas desde L a los puntos de corte serán tangentes a las hipérbolas [Prop. IV.9]. Tracemos la recta de unión KL y prolonguémosla Paso 8. Cortará al ángulo BLC y a las hipérbolas en uno y otro punto. Sean estos F y M. Debido a las propiedades de las hipérbolas opuestas ABCD y E, \(\rm\dfrac{NK}{KL}=\dfrac{NM}{ML}\) Paso 9, pero esto es imposible. Así E y K no se cortan entre sí.

Q. E. D.