Si una hipérbola corta a una de las secciones opuestas en cuatro puntos, su sección opuesta no encontrará a ninguna otra.

Sean ABCD y E las hipérbolas opuestas Paso 1, y sea una hipérbola que corta a ABCD en cuatro puntos A, B, C y D y sea K su hipérbola opuesta Paso 2. Digo que K no corta a E.

Supongamos que la corta en K Paso 3. Tracemos las rectas de unión AB y CD y prolonguémoslas Paso 4. Entonces estas se cortan entre sí en un punto L Paso 5, y sea ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{P}}{\mathrm{P}\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{L}}{\mathrm{L}\mathrm{B}}}$ y ${\displaystyle \frac{\mathrm{D}\mathrm{R}}{\mathrm{R}\mathrm{C}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{D}\mathrm{L}}{\mathrm{L}\mathrm{C}}}$ Paso 6.

Así la recta de unión PR corta a cada una de las secciones Paso 7, y las rectas trazadas desde L a los puntos de corte serán tangentes a las hipérbolas [Prop. IV.9]. Tracemos la recta de unión KL y prolonguémosla Paso 8. Cortará al ángulo BLC y a las hipérbolas en uno y otro punto. Sean estos F y M. Debido a las propiedades de las hipérbolas opuestas ABCD y E, ${\displaystyle \frac{\mathrm{N}\mathrm{K}}{\mathrm{K}\mathrm{L}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{N}\mathrm{M}}{\mathrm{M}\mathrm{L}}}$ Paso 9, pero esto es imposible. Así E y K no se cortan entre sí.

Q. E. D.