Las secciones opuestas no cortan a las secciones opuestas en más de cuatro puntos.

Caso 1Sean AB y CD un par de hipérbolas opuestas, y ABCD y EF otro par de hipérbolas opuestas, y supongamos en primer lugar que ABCD corta a AB y CD en cuatro puntos A, B, C y D con convexidades en sentido opuesto. Así la hipérbola opuesta EF de ABCD no corta a AB y CD [Prop. IV.43].

Caso 2Supongamos ahora que ABCD corta a AB en A y B y a C en C. Así EF no corta a la hipérbola C [Prop. IV.41]. Si EF corta a AB, la cortará en un solo punto, pues si la cortara en dos puntos, su hipérbola opuesta ABC no cortaría a la otra hipérbola opuesta C [Prop. IV.43]. Pero hemos supuesto que la corta en un punto C.

Caso 3Si ABC corta a ABE en dos puntos A y B, y EF corta a ABE en un punto, EF no cortará a la hipérbola D [Prop. IV.41], y ya que corta a la hipérbola ABE, no la cortará en más de dos puntos.

Caso 4Si ABCD corta a ambas hipérbolas opuestas en un punto, la hipérbola EF no cortará a ninguna de las dos hipérbolas en dos puntos [Prop. IV.42]. Por tanto, en virtud de lo que se ha dicho y sus recíprocos, las hipérbolas ABCD y CF no cortarán a las hipérbolas opuestas BE y EF en más de cuatro puntos.

Caso 5Si las hipérbolas tienen concavidad en el mismo sentido, y una corta a la otra en cuatro puntos A, B, C y D, EF no cortará a la otra hipérbola opuesta [Prop. IV.44]. Lógicamente EF no cortará a AB, pues AB no cortará a las hipérbolas opuestas ABCD y EF en más de cuatro puntos [Prop. IV.38], CD no cortará a EF.

Caso 6Si ABCD corta a la otra hipérbola en tres puntos, EF cortará a la otra hipérbola en solo punto [Prop. IV.46].

En los restantes casos, repetimos lo que ya hemos dicho. Por tanto, ya que en todas las posibles configuraciones lo propuesto es evidente, hipérbolas opuestas no cortan a hipérbolas opuestas en más de cuatro puntos.

Q. E. D.