Si
las líneas de las que acabamos de hablar se tocan mutuamente en un solo punto, no se cortarán en más de otros dos.
Supongamos que las dos secciones anteriormente mencionadas son tangentes en un punto A .
Digo que no se cortarán en más de otros dos puntos.
Supongamos que se cortan en los puntos B, C y D, que los puntos de corte son consecutivos y que no hay otros puntos de corte entre ellos . Tracemos la recta de unión BC y prolonguémosla , y desde A tracemos la tangente AL a la sección . Así AL será tangente a ambas secciones y cortará a CB. Sea L el punto de corte, y \(\rm\dfrac{CL}{LB}=\dfrac{CP}{PB}\) .
Tracemos la recta de unión AP y prolonguémosla. Así cortará a la sección, y las rectas trazadas desde los puntos de corte a L serán tangentes a la sección [Prop. IV.1]. Sean H y R los puntos de tangencia , y tracemos las rectas de unión HL y LR . Estas rectas serán tangentes a la sección. Así la recta de unión DL cortará a cada una de las secciones , y obtendremos la anterior imposibilidad. La sección no cortará a la otra en más de dos puntos.
Si en una elipse o circunferencia, la recta CB es paralela a la recta AL, la demostración será similar a la dada anteriormente, una vez que se demuestre que AH es un diámetro.
Q. E. D.