Con las mismas hipótesis, si los puntos de corte de una de las rectas rodean a los de la otra, y el punto tomado se encuentra en el interior del ángulo adyacente al ángulo comprendido por las asíntotas, entonces la prolongación de la recta que une los puntos de división, cortará a la hipérbola opuesta y las rectas trazadas desde los puntos de corte a D serán tangentes a las hipérbolas opuestas.

Sea EG una hipérbola Paso 1 de asíntotas NQ y OP Paso 2, y de centro R Paso 3. Además supongamos que D está en el interior del ángulo QRP Paso 4, tracemos las rectas DE y DF que cortan a la hipérbola Paso 5, cada una en dos puntos, E y H rodeados de los puntos F y G Paso 6, y sea ${\displaystyle \frac{\mathrm{E}\mathrm{D}}{\mathrm{D}\mathrm{H}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{E}\mathrm{K}}{\mathrm{K}\mathrm{H}}}$ y ${\displaystyle \frac{\mathrm{F}\mathrm{D}}{\mathrm{D}\mathrm{G}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{F}\mathrm{L}}{\mathrm{L}\mathrm{G}}}$ Paso 7. Es necesario demostrar que la recta de unión KL corta a la hipérbola EF y a la hipérbola opuesta, y las rectas trazadas desde los puntos de corte hasta D, son tangentes a las hipérbolas. Tomemos M en la hipérbola opuesta Paso 8, y tracemos desde D las rectas DM y DS tangentes a la hipérbola Paso 9, tracemos la recta de unión MS Paso 10, y supongamos que no pasa por ambos puntos K y L, sino que pasa solo por uno de ellos o por ninguno. Supongamos que pasa por K y que corta a FG en T Paso 11. Así ${\displaystyle \frac{\mathrm{F}\mathrm{D}}{\mathrm{D}\mathrm{G}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{T}\mathrm{F}}{\mathrm{T}\mathrm{G}}}$ [Prop. III.37]. Pero esto es imposible, pues hemos supuesto que ${\displaystyle \frac{\mathrm{F}\mathrm{D}}{\mathrm{D}\mathrm{G}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{F}\mathrm{L}}{\mathrm{L}\mathrm{G}}}$. Si MS no pasa ni por K ni por L, la imposibilidad se produce tanto en el caso de la recta ED como en el caso de la recta DF.

Q. E. D.