Si las secciones opuestas tocan a las otras en dos puntos, no las cortarán en ningún otro.

Caso 1 Sean AB y CD unas hipérbolas opuestas, y AC y EF otras hipérbolas opuestas, y en primer lugar supongamos que son tangentes en A y C. Ya que AC es tangente a ambas hipérbolas AB y CD en A y C, entonces EF no cortará a ninguna de las hipérbolas AB y CD [Prop. IV.51].

Caso 2 Supongamos ahora que la hipérbola opuesta a EF es tangente a AB en A y B, ambas con convexidades en el mismo sentido. Se prueba de manera análoga que CD no corta a EF [Prop. IV.53].

Caso 3 [Supongamos que CA es tangente a AB en A, y D es tangente a EF en F. Ya que AC es tangente a AB con concavidades en sentido contrario, EF no cortará a AB. Ya que FD es tangente a EF, CA no cortará a DF. Este caso no puede presentarse en virtud de [Prop. IV.54].

Caso 4 Si AC es tangente a AB en A, y EC es tangente a CD en C, y sus concavidades están en el mismo sentido, no se cortarán en otro punto [Prop. IV.52]. EF no corta a AB.

Por tanto en todas la disposiciones posibles, las demostraciones prueban que lo propuesto es evidente.

Q. E. D.