Una sección cónica no corta a otra o a una circunferencia en más de cuatro puntos.

Supongamos que se cortan en cinco puntos A, B, C, D y E, que los puntos de corte son consecutivos y que no hay otros puntos de corte entre ellos Paso 1. Tracemos las rectas de unión AB y CD y prolonguémoslas Paso 2. Por tanto estas rectas se cortan fuera de las secciones, en el caso de la parábola y la hipérbola [Prop. II.24 y Prop. II.25]. Supongamos que se cortan en el punto L Paso 3 y \(\rm\dfrac{AL}{LB}=\dfrac{AO}{OB}\) y \(\rm\dfrac{DL}{LC}=\dfrac{DP}{PC}\) Paso 4.

Así la prolongación en ambos sentidos de la recta de unión PO cortará a la sección en ambos lados Paso 5, y las rectas que unen los puntos de corte con L serán tangentes a la sección [Prop. IV.9]. Sean H y R los puntos de contacto Paso 6 y tracemos las rectas de unión HL y LR Paso 7. Por tanto son tangentes a la sección.

Ya que no existe punto de corte entre B y C la recta EL corta a ambas secciones Paso 8. Sean M y G dichos puntos de corte Paso 9, así en una hipérbola \(\rm\dfrac{EN}{NG}=\dfrac{EL}{LG}\) y en la otra \(\rm\dfrac{EN}{NM}=\dfrac{EL}{LM}\). Pero esto es imposible, de manera que la hipótesis de comienzo también es imposible.

Si AB y DC son paralelas Paso 10, las secciones serán elipses o circunferencias. Bisequemos AB y CD en O y P Paso 11, y tracemos la recta de unión OP y prolonguémosla. Entonces cortará a las secciones. Sean H y R los puntos de corte Paso 12. Entonces HR es un diámetro de las secciones, y AB y CD son ordenadas [Prop. II.28]. Tracemos desde E la paralela ENMG a AB y CD Paso 12. Así EMG corta a HR y a cada una de las secciones, ya que no existen otros puntos de corte distintos de los puntos A, B, C y D. Entonces en una de las secciones EN=NM y en la otra NE=NG [Def. 1.4], luego NM=NG, pero esto es imposible.

Q. E. D.