Si tomamos un punto situado entre unas hipérbolas opuestas, y desde ese punto trazamos dos rectas secantes a cada una de las hipérbolas, y las rectas mayores que las rectas comprendidas entre las opuestas son a sus excesos como las rectas comprendidas entre una de las hipérbolas y el punto son a las rectas comprendidas entre la otra hipérbola y el mismo punto, entonces la recta que pasa por los extremos de las mayores de las rectas cortará a las hipérbolas, y las rectas trazadas desde los puntos de corte hasta el punto tomado serán tangentes a las hipérbolas.

Sean A y B una hipérbolas opuestas Paso 1, y supongamos D entre las hipérbolas. Supongamos primero que D se encuentra en el interior del ángulo comprendido por las asíntotas Paso 2, y tracemos desde D las rectas ADB y CDH Paso 3. AD>DB y CD > DH, ya que [Prop. II.16] BN=AM Paso 4. Además ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{K}}{\mathrm{K}\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{D}}{\mathrm{D}\mathrm{B}}}$, y ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{G}}{\mathrm{G}\mathrm{H}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{D}}{\mathrm{D}\mathrm{H}}}$ Paso 5. Digo que la recta de unión KG corta a las hipérbolas y las rectas trazadas desde D hasta los puntos de corte son tangentes a la sección.

Ya que D está en el interior del ángulo comprendido por las asíntotas, es posible trazar dos tangentes DE y DF a la sección [Prop. II.49] Paso 6. Tracemos la recta de unión EF Paso 7. Así pasará por G y K, pues si solo pasa por uno de los puntos, la otra recta será cortada, en la misma razón, en otro punto [Prop. III.37], lo que es imposible. Si no pasa por ninguno de los puntos, la imposibilidad se producirá en ambas rectas.

Q. E. D.