Si por un mismo punto se trazan dos rectas que corten en dos puntos a una cónica o a una circunferencia y se dividen los segmentos interiores en la razón de las rectas completas a los segmentos exteriores de manera que sean homólogos respecto del mismo punto, la recta que une los puntos de división cortará a la sección en dos puntos y las trazadas desde los de intersección al punto exterior serán tangentes a la curva.

Si AB es una sección cónica Paso 1, tracemos desde un punto D Paso 2 las rectas DE y DF Paso 3 que cortan a la sección en los puntos H y E y en F y G respectivamente Paso 4. Además sea ${\displaystyle \frac{\mathrm{E}\mathrm{L}}{\mathrm{L}\mathrm{H}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{D}\mathrm{E}}{\mathrm{H}\mathrm{D}}}$ y ${\displaystyle \frac{\mathrm{F}\mathrm{K}}{\mathrm{K}\mathrm{G}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{D}\mathrm{F}}{\mathrm{D}\mathrm{G}}}$ Paso 5. Digo que la recta de unión LK cortará a la sección en uno y otro lado y que las rectas trazadas desde sus puntos de intersección a D son tangentes.

En efecto, puesto que las rectas ED y FD cortan a la sección en dos puntos se puede trazar desde D un diámetro, y también tangentes a la sección. Sean DA y DB dichas tangentes Paso 6. Suponiendo que la recta de unión AB Paso 7 no pasa por los puntos L y K sino por uno o por ninguno de los dos, admitamos que pasa por L, y corta a FG en M Paso 8, en cuyo caso ${\displaystyle \frac{\mathrm{F}\mathrm{D}}{\mathrm{D}\mathrm{G}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{F}\mathrm{M}}{\mathrm{M}\mathrm{G}}}$ [Prop. III.37], lo cual es imposible porque hemos supuesto que ${\displaystyle \frac{\mathrm{F}\mathrm{D}}{\mathrm{D}\mathrm{G}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{F}\mathrm{K}}{\mathrm{K}\mathrm{G}}}$. Si la recta AB no pasa por L ni por K se llega a la misma imposibilidad.

Q. E. D.