Si
por un mismo punto se trazan dos rectas que corten en dos puntos a una cónica o a una circunferencia y se dividen los segmentos interiores en la razón de las rectas completas a los segmentos exteriores de manera que sean homólogos respecto del mismo punto, la recta que une los puntos de división cortará a la sección en dos puntos y las trazadas desde los de intersección al punto exterior serán tangentes a la curva.
Si AB es una sección cónica ,
tracemos desde un punto D
las rectas DE y DF
que cortan a la sección en los puntos H y E y en F y G respectivamente .
Además sea \(\rm\dfrac{EL}{LH}=\dfrac{DE}{HD}\) y \(\rm\dfrac{FK}{KG}=\dfrac{DF}{DG}\) .
Digo que la recta de unión LK cortará a la sección en uno y otro lado y que las rectas trazadas desde sus puntos de intersección a D son tangentes.
En efecto, puesto que las rectas ED y FD cortan a la sección en dos puntos se puede trazar desde D un diámetro, y también tangentes a la sección.
Sean DA y DB dichas tangentes .
Suponiendo que la recta de unión AB
no pasa por los puntos L y K sino por uno o por ninguno de los dos, admitamos que pasa por L, y corta a FG en M , en cuyo caso
\(\rm\dfrac{FD}{DG}=\dfrac{FM}{MG}\) [Prop. III.37], lo cual es imposible porque hemos supuesto que \(\rm\dfrac{FD}{DG}=\dfrac{FK}{KG}\).
Si la recta AB no pasa por L ni por K se llega a la misma imposibilidad.
Q. E. D.