Si
una hipérbola toca a una de las secciones opuestas en un solo punto, su sección opuesta no cortará a la otra en más de dos puntos.
Sean AB y EDG las hipérbolas opuestas ,
y AC una hipérbola tangente a AB en A, y sea EDF la hipérbola opuesta de AC .
Digo que EDF no corta a EDG en más de dos puntos.
Supongamos que EDF corta a EDG en tres puntos D, E y H ,
tracemos la tangente AK a las hipérbolas AB y AC ,
tracemos la recta de unión DE y prolonguémosla .
Supongamos en primer lugar que AK y DE son paralelas. Bisequemos DE en L ,
y tracemos la recta de unión AL .
Entonces AL es un diámetro para dos hipérbolas conjugadas [Prop. II.34], y cortará a la hipérbola entre D y E en M y N
.
Tracemos desde H una paralela HFG a DE .
Entonces en una de las hipérbolas, HO=OF ,
y en la otra hipérbola, HO=OG, luego OF=OG, lo que es imposible.
Supongamos ahora que AK y DE no son paralelas y que se cortan en K y que las restantes construcciones son iguales .
Prologuemos AK, que corta a FH en R .
Como antes [Prop. III.19], en la hipérbola FDE, \(\rm \dfrac{FR\cdot RH}{RA^2}=\dfrac{DK\cdot KE}{AK^2}\), y en la hipérbola GDE, \(\rm \dfrac{GR\cdot RH}{RA^2}=\dfrac{DK\cdot KE}{AK^2}\). Así GR∙RH=FR∙RH, pero esto es imposible. Así EDF no corta a EDG en más de dos puntos.
Q. E. D.