Si una hipérbola toca a una de las secciones opuestas en un solo punto, su sección opuesta no cortará a la otra en más de dos puntos.

Sean AB y EDG las hipérbolas opuestas Paso 1, y AC una hipérbola tangente a AB en A, y sea EDF la hipérbola opuesta de AC Paso 2. Digo que EDF no corta a EDG en más de dos puntos.

Supongamos que EDF corta a EDG en tres puntos D, E y H Paso 3, tracemos la tangente AK a las hipérbolas AB y AC Paso 4, tracemos la recta de unión DE y prolonguémosla Paso 5.

Supongamos en primer lugar que AK y DE son paralelas. Bisequemos DE en L Paso 6, y tracemos la recta de unión AL Paso 7. Entonces AL es un diámetro para dos hipérbolas conjugadas [Prop. II.34], y cortará a la hipérbola entre D y E en M y N Paso 8. Tracemos desde H una paralela HFG a DE Paso 9. Entonces en una de las hipérbolas, HO=OF Paso 10, y en la otra hipérbola, HO=OG, luego OF=OG, lo que es imposible.

Supongamos ahora que AK y DE no son paralelas y que se cortan en K y que las restantes construcciones son iguales Paso 11. Prologuemos AK, que corta a FH en R Paso 12. Como antes [Prop. III.19], en la hipérbola FDE, ${\displaystyle \frac{\mathrm{F}\mathrm{R}\cdot \mathrm{R}\mathrm{H}}{\mathrm{R}{\mathrm{A}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{D}\mathrm{K}\cdot \mathrm{K}\mathrm{E}}{\mathrm{A}{\mathrm{K}}^2}}$, y en la hipérbola GDE, ${\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{R}\cdot \mathrm{R}\mathrm{H}}{\mathrm{R}{\mathrm{A}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{D}\mathrm{K}\cdot \mathrm{K}\mathrm{E}}{\mathrm{A}{\mathrm{K}}^2}}$. Así GR∙RH=FR∙RH, pero esto es imposible. Así EDF no corta a EDG en más de dos puntos.

Q. E. D.