Una cónica o una circunferencia que corta a una de las secciones opuestas de una hipérbola no cortará la otra sección en más de dos puntos.

Sean A y B las hipérbolas opuestas Paso 1 y ABC una sección cónica o una circunferencia que corta a la hipérbola A y que corta a la hipérbola B en los puntos B y C Paso 2.

Digo que no cortará a BC en otro punto.

Supongamos que corta a BC en otro punto D Paso 3. Así BCD corta a la sección BC en más de dos puntos, sin ser cóncava en el mismo sentido, pero esto es imposible [Prop. IV.35].

Análogamente se demuestra si la línea ABC es tangente a la hipérbola opuesta.

Q. E. D.