Sean las mismas hipérbolas y asíntotas Paso 1, y consideramos que el punto D ha sido tomado de la misma forma Paso 2. Tracemos la recta CDH cortando a las hipérbolas Paso 3, y tracemos una paralela DB a una de las asíntotas Paso 4. Además ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{D}}{\mathrm{D}\mathrm{H}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{G}}{\mathrm{G}\mathrm{H}}}$ y BK=DB Paso 5. Digo que la recta que pasa por K y G cortará a cada una de las hipérbolas opuestas, y las rectas trazadas desde los puntos de corte a D serán tangentes a la sección.

Tracemos DE y DF tangentes a la sección Paso 6, tracemos la recta de unión EF Paso 7, y supongamos que no pasa por los dos puntos K y G, sino que pasa solo por uno o por ninguno. Si solo pasa por uno, por G, entonces DB no será igual a BK, sino a otra recta, pero [Prop. III.31] esto es imposible. Si pasa solo por K, ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{D}}{\mathrm{D}\mathrm{H}}}$ no será igual a ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{G}}{\mathrm{G}\mathrm{H}}}$, sino como otra recta es a una otra recta [Prop. III.39]. Si no pasa por ninguno de los dos puntos K y G, la imposibilidad se producirá en ambos casos.

Q. E. D.