Sean
las mismas hipérbolas y asíntotas ,
y consideramos que el punto D ha sido tomado de la misma forma .
Tracemos la recta CDH cortando a las hipérbolas ,
y tracemos una paralela DB a una de las asíntotas .
Además \(\rm\dfrac{CD}{DH}=\dfrac{CG}{GH}\) y BK=DB .
Digo que la recta que pasa por K y G cortará a cada una de las hipérbolas opuestas, y las rectas trazadas desde los puntos de corte a D serán tangentes a la sección.
Tracemos DE y DF tangentes a la sección ,
tracemos la recta de unión EF , y supongamos que no pasa por los dos puntos K y G, sino que pasa solo por uno o por ninguno. Si solo pasa por uno, por G, entonces DB no será igual a BK, sino a otra recta, pero [Prop. III.31] esto es imposible. Si pasa solo por K, \(\rm\dfrac{CD}{DH}\) no será igual a \(\rm\dfrac{CG}{GH}\), sino como otra recta es a una otra recta [Prop. III.39]. Si no pasa por ninguno de los dos puntos K y G, la imposibilidad se producirá en ambos casos.
Q. E. D.