Una parábola interior a una elipse o a una circunferencia, no será tangente en dos puntos.

Supongamos que una elipse o circunferencia AGB y una parábola AMB son tangentes en dos puntos A y B Paso 1, y tracemos desde A y B tangentes a las secciones, y supongamos que estas se cortan en L Paso 2, bisequemos la recta de unión AB en F Paso 3, y tracemos la recta de unión LF Paso 4. LF cortará a cada sección en un punto, como se ha dicho antes. Supongamos que sean estos G y M, y prolonguemos LF hasta D, que es el centro de la elipse o de la circunferencia Paso 5. Así de acuerdo a las propiedades de la elipse y de la circunferencia, ${\displaystyle \frac{\mathrm{L}\mathrm{D}}{\mathrm{D}\mathrm{G}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{D}\mathrm{G}}{\mathrm{D}\mathrm{F}}}$, [Prop. I.37] $={\displaystyle \frac{\mathrm{L}\mathrm{G}}{\mathrm{G}\mathrm{F}}}$, y $\mathrm{L}\mathrm{D}>\mathrm{D}\mathrm{G}$. Así $\mathrm{L}\mathrm{G}>\mathrm{G}\mathrm{F}$. Pero de acuerdo a las propiedades de la parábola [Prop. I.35], LM=MF, lo que es imposible.

Q. E. D.