Si
una hipérbola, tangente a una de las secciones opuestas, la cortará en otro punto, su sección opuesta no cortará a la otra en más de un punto.
Sean ABC y EFG las hipérbolas opuestas , y DAC una hipérbola tangente a ABC en A, y que corta a ABC en C, y sea EFH la hipérbola opuesta de DAC .
Digo que no corta a la otra hipérbola opuesta en más de un punto.
Supongamos que la corta en dos puntos E y F, y tracemos la recta de unión EF , y desde A tracemos la tangente AK a las hipérbolas . Así EF y AK son o no son paralelas.
En primer lugar supongamos que son paralelas, y tracemos un diámetro bisecando EF, así pasará por A
,
y será el diámetro de dos hipérbolas opuestas [Prop. II.34]. Tracemos desde C la paralela CLDB
a AK y EF .
Así cortará a ambas hipérbolas. Entonces en una de las hipérbolas, CL=LD, y en la otra hipérbola, CL=LB, pero esto es imposible.
Supongamos ahora que AK y EF no son paralelas ,
entonces se cortarán en un punto K,
tracemos CD paralela a AK que corta a EF en N .
Tracemos AM bisecando a EF ,
que corta a las hipérbolas en Q y O ,
y tracemos desde Q y O tangentes QP y OR a las hipérbolas .
Así \(\rm\dfrac{AP^2}{PQ^2}=\dfrac{AR^2}{RO^2}=\dfrac{DN\cdot NC}{EN\cdot NF}=\dfrac{BN\cdot NC}{EN\cdot NF}\). Así DN∙NC = BN∙NC, pero esto es imposible.
Q. E. D.