Si una hipérbola, tangente a una de las secciones opuestas, la cortará en otro punto, su sección opuesta no cortará a la otra en más de un punto.

Sean ABC y EFG las hipérbolas opuestas Paso 1, y DAC una hipérbola tangente a ABC en A, y que corta a ABC en C, y sea EFH la hipérbola opuesta de DAC Paso 2. Digo que no corta a la otra hipérbola opuesta en más de un punto.

Supongamos que la corta en dos puntos E y F, y tracemos la recta de unión EF Paso 3, y desde A tracemos la tangente AK a las hipérbolas Paso 4. Así EF y AK son o no son paralelas.

En primer lugar supongamos que son paralelas, y tracemos un diámetro bisecando EF, así pasará por A Paso 5, y será el diámetro de dos hipérbolas opuestas [Prop. II.34]. Tracemos desde C la paralela CLDB a AK y EF Paso 6. Así cortará a ambas hipérbolas. Entonces en una de las hipérbolas, CL=LD, y en la otra hipérbola, CL=LB, pero esto es imposible.

Supongamos ahora que AK y EF no son paralelas Paso 7, entonces se cortarán en un punto K, tracemos CD paralela a AK que corta a EF en N Paso 8. Tracemos AM bisecando a EF Paso 9, que corta a las hipérbolas en Q y O Paso 10, y tracemos desde Q y O tangentes QP y OR a las hipérbolas Paso 11. Así ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}{\mathrm{P}}^2}{\mathrm{P}{\mathrm{Q}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}{\mathrm{R}}^2}{\mathrm{R}{\mathrm{O}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{D}\mathrm{N}\cdot \mathrm{N}\mathrm{C}}{\mathrm{E}\mathrm{N}\cdot \mathrm{N}\mathrm{F}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{N}\cdot \mathrm{N}\mathrm{C}}{\mathrm{E}\mathrm{N}\cdot \mathrm{N}\mathrm{F}}}$. Así DN∙NC = BN∙NC, pero esto es imposible.

Q. E. D.