Si en unas hipérbolas opuestas se toma un punto entre las dos hipérbolas, y si trazamos desde ese punto una tangente a una de las hipérbolas opuestas, y otra recta que corte a cada una de las secciones opuestas, y que la recta mayor comprendida entre las hipérbolas es al exceso sobre ella colocada en su prolongación y del lado del mismo extremo que la recta homóloga, como la recta comprendida entre la hipérbola (a la cual la primera recta no era tangente) y el punto, es a la recta comprendida entre el punto y la otra hipérbola, entonces la recta trazada desde el extremo de la recta mayor al punto de contacto cortará a la sección, y la recta trazada desde el punto de corte al punto tomado será tangente a la sección.

Sean A y B hipérbolas opuestas Paso 1, y tomemos un punto D entre las hipérbolas, situado en el interior del ángulo comprendido por las asíntotas Paso 2, y desde este punto tracemos una tangente DF a la sección Paso 3, y una recta ADB secante a la sección Paso 4. Además ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{\mathrm{C}\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{D}}{\mathrm{D}\mathrm{B}}}$ Paso 5.

Es necesario demostrar que la recta trazada desde F hasta C cortará a la sección, y la recta trazada desde el punto de corte hasta D será tangente a la sección.

En efecto, ya que D está situado en el ángulo conteniendo a la sección, podemos trazar desde D otra tangente DE a la sección [Prop. II.49] Paso 6. Tracemos la recta de unión FE Paso 7, y supongamos que pasa por G, y no por C. Entonces ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{D}}{\mathrm{D}\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{G}}{\mathrm{G}\mathrm{B}}}$ [Prop. III.37], lo que es imposible ya que ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{D}}{\mathrm{D}\mathrm{B}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{\mathrm{C}\mathrm{B}}}$.

Q. E. D.