Si se tocan en dos puntos, no se cortarán en ningún otro.

Supongamos que se tocan en los puntos A y B Paso 1. Digo que no se cortarán en ningún otro punto.

Supongamos que también se corten en otro punto C Paso 2 y en primer lugar supongamos que C esté situado en el exterior de los puntos de contactos A y B, y tracemos las tangentes en A y B a las secciones Paso 3. Así serán tangentes a ambas secciones. Supongamos que se corten y prolonguémoslas hasta L Paso 4. Tracemos la recta de unión CL Paso 5. Entonces corta a ambas secciones. Supongamos que G y M son los puntos de corte Paso 6, y tracemos la recta de unión ANB Paso 7. Así, en una sección ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{N}}{\mathrm{N}\mathrm{G}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{L}}{\mathrm{L}\mathrm{G}}}$, y en la otra sección ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{N}}{\mathrm{N}\mathrm{M}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{L}}{\mathrm{L}\mathrm{M}}}$ [Prop. III.37], pero esto es imposible.

Q. E. D.