Si
se toma un cierto punto en el exterior de una sección cónica o de una circunferencia, y desde ese punto se trazan dos rectas sobre la sección, una de las cuales es una tangente, la otra corta a la sección en dos puntos, y si la razón que la secante entera tiene con la recta dividida en el exterior entre el punto y la sección es idéntica a la razón según la cual la recta dividida es cortada en el interior, de manera que las rectas homólogas sean aplicadas a un mismo punto, entonces la recta trazada desde el punto de contacto al punto de división cortará a la sección, y la recta trazada desde el punto de corte al punto exterior será tangente a la sección.
Sea ABC la sección de un cono o la circunferencia y tomemos un punto D en el exterior de la sección , desde D tracemos la tangente DB en B a la sección , tracemos la recta DEC que corta a la sección en los puntos E y C , y sea \(\rm \dfrac{CF}{FE}=\dfrac{CD}{DE}\) .
Digo que la recta de unión BF cortará a la sección , y la recta de unión BD es tangente a la sección.
Tracemos desde D la tangente DA a la sección , y supongamos que AB corta a EC en G y no en F. Ahora bien ya que BD y DA son tangentes a la sección, AB une los puntos de contacto, CD ha sido trazada cortando a la sección en C y E y cortando a AB en G, entonces \(\rm\dfrac{CD}{DE}=\dfrac{CG}{GE}\) [Prop. III.37]. Pero esto es imposible ya que hemos supuesto que \(\rm\dfrac{CD}{DE}=\dfrac{CF}{FE}\). Así AB no corta a CE en un punto diferente a F, así corta a CE en F.
Q. E. D.