Si una hipérbola corta a las secciones opuestas de otra, su sección opuesta no cortará a ninguna de las secciones opuestas en dos puntos.

Sean A y B las hipérbolas opuestas Paso 1 y sea ABC la hipérbola que corta a cada una de las hipérbolas opuestas A y B Paso 2. Digo que la hipérbola opuesta de ACB no corta a las hipérbolas A y B en dos puntos.

Supongamos que corta a una de las hipérbolas opuestas en D y E Paso 3, y tracemos la recta de unión DE y prolonguémosla Paso 4. Debido a la hipérbola DE, la recta DE no corta a la hipérbola AB [Prop. II.33], y por otro lado, debido a la sección AED, la recta DE no corta a la hipérbola B, ya que pasa por tres lugares [Prop. II.33], pero esto es imposible. Análogamente se puede demostrar que ACB no corta a B en dos puntos.

Por las mismas razones no será tangente a ninguna de las hipérbolas opuestas. En efecto si la recta DE fuese tangente, sería tangente a cada una de las hipérbolas opuestas, luego debido a la hipérbola DE no cortaría a la hipérbola AC, mientras que debido a la hipérbola AE no cortaría a la hipérbola B, por tanto AC no cortaría a B, lo que contradice la hipótesis.

Q. E. D.