Si una hipérbola corta a cada una de las secciones opuestas de otra hipérbola en dos puntos, siendo de direcciones contrarias sus respectivas convexidades, su sección opuesta no cortará a ninguna de las secciones opuestas.

Sean A y B las hipérbolas opuestas Paso 1, y CABD la hipérbola que corta a cada una de las hipérbolas opuestas en dos puntos, con convexidad en sentido contrario Paso 2. Digo que su hipérbola opuesta EF no corta a ninguna de las hipérbolas A y B.

Supongamos que corta a la hipérbola A en E, y tracemos las rectas de unión CA y DB, y prolonguémoslas, entonces estas rectas se cortan entre sí [Prop. II.25]. Sea este el punto H Paso 3, estará situado en el ángulo comprendido entre las asíntotas de la hipérbola CABD [Prop. II.25]. Por una parte EF es la hipérbola opuesta de CABD. Así la recta de unión EH caerá en el interior del ángulo AHB. Ya que CAE es una hipérbola, y CAH y HE se cortan, y los puntos de corte C y A no comprenden al punto E, el punto H estará entre las asíntotas de la hipérbola CAE. Y BD es la hipérbola opuesta a CAE. Así la recta de unión BH caerá en el interior del ángulo CHE, pero esto es imposible, ya que cae en el interior del ángulo AHB.

Así EF no corta a ninguna de las hipérbolas opuestas A y B.

Q. E. D.