Si una hipérbola es tangente a una de las secciones opuestas y corta a la otra en dos puntos, su sección opuesta no cortará a ninguna de estas secciones opuestas.

Sean ABC y D las hipérbolas opuestas Paso 1, y ABD una hipérbola que corta a ABC en A y B, y es tangente a la hipérbola D en el punto D, y sea CE la hipérbola opuesta a ABD Paso 2. Digo que CE no corta a ninguna de las hipérbolas ABC y D.

Supongamos que CE corta a ABC en C, y tracemos la recta de unión AB Paso 3, y desde D tracemos una tangente a la hipérbola ABD que corta a AB en F Paso 4.

Así F caerá en el interior del ángulo comprendido por las asíntotas de la hipérbola ABD [Prop. II.25]. Y CE es la hipérbola opuesta de ABD. Así la recta de unión CF cae en el interior del ángulo BFD Paso 5. Ya que ABC es una hipérbola, y AB y CF se cortan, y los puntos de corte A y B no comprenden a C, el punto F está entre las asíntotas de la hipérbola ABC. Y D es la hipérbola opuesta de ABC. Así la recta DF cae en el interior del ángulo AFC, pero esto es imposible ya que cae en el interior del ángulo BFD. Así CE no corta a ninguna de las hipérbolas ABC y D.

Q. E. D.