Si se toma un punto en el exterior de una hipérbola, y desde ese punto se trazan dos rectas a la hipérbola, una tangente a la hipérbola y la otra paralela a una asíntota. y si el segmento de la última recta en el interior de la hipérbola es igual al segmento determinado por la hipérbola y el punto, entonces la recta trazada del punto de contacto al punto obtenido cortará a la hipérbola, y la trazada del punto de corte al punto exterior será tangente a la hipérbola.

Consideremos la hipérbola AEB Paso 1, tomemos un punto D en el exterior de ella, y supongamos que D se encuentra en el interior del ángulo comprendido entre las asíntotas Paso 2. Desde D tracemos una tangente BD a la hipérbola Paso 3, una paralela DEF a la otra asíntota, y EF=DE Paso 4. Digo que la recta de unión BF cortará a la hipérbola, y la recta trazada desde el punto de corte hasta D será tangente a la hipérbola.

Tracemos una tangente DA a la hipérbola Paso 5, tracemos la recta de unión BA que corta a DE Paso 6, si es posible, no en F, sino en un punto G Paso 7. Entonces [Prop. III.30] DE=EG. Pero esto es imposible, ya que hemos supuesto que DE=EF.

Q. E. D.