Si una cónica o una circunferencia es tangente a las secciones opuestas en un punto, no las cortará en ningún otro.

Sean A y B las hipérbolas opuestas Paso 1 y sea una sección cónica o una circunferencia tangente a las hipérbolas A y B en los puntos A y B Paso 2. Digo que la línea ABC no cortará a las hipérbolas A y B en otro punto.

En efecto, ya que la línea ABC es tangente a la hipérbola A y corta a la hipérbola B en otro punto, no será tangente a la hipérbola A en el sentido de su concavidad. Análogamente se demuestra que no será tangente a B en el sentido de su concavidad. Tracemos tangentes AD y BE a las hipérbolas A y B Paso 3, entonces serán tangentes a la línea ABC.

Supongamos que la recta AF corta a la línea ABC Paso 4. Entonces puede insertarse entre AF y la hipérbola A una recta AG Paso 5, pero esto es imposible. Así es tangente a ABC, y por esta razón, es evidente que ABC no corta a las hipérbolas opuestas en otro punto.

Q. E. D.