Si una hipérbola corta a una de las secciones opuestas en tres puntos, su sección opuesta no cortará a la otra en más de un punto.

Sean ABC y DEF las hipérbolas opuestas Paso 1, AMBC la hipérbola que corta a ABC en tres puntos A, B y C, y sea DK la hipérbola opuesta de AMC Paso 2. Digo que DK no cortará a DEF en más de un punto.

Supongamos que se cortan en D y E, y tracemos las rectas de unión AB y DE Paso 3. Así estas son o no son paralelas.

Supongamos en primer lugar que son paralelas, y bisequemos AB y DE en los puntos G y H Paso 4, y tracemos la recta de unión GH Paso 5, así GH es un diámetro para todas estas hipérbolas [Prop. II.36], y AB y DE son trazadas como ordenadas. Tracemos desde C una paralela CNQO a AB Paso 6, entonces será trazada como ordenada al diámetro, y cortará a ambas hipérbolas en diferentes puntos, pues si las corta en un mismo punto, no se cortarían a lo sumo en tres puntos sino en cuatro.

En la hipérbola AMB, CN=NQ, y en la hipérbola ALB, CN=NO. Así NQ=NO, lo que es imposible.

Supongamos ahora que las rectas AB y DE no son paralelas y prolonguémoslas. Sea P el punto de corte. Tracemos CO paralela a AP, y prologuemos AP hasta R. Bisequemos AB y DE en los puntos G y H, tracemos los diámetros GSI y HLM, y tracemos desde I, L y M tangentes IJ, MY y LJ a la hipérbola, entonces IJ es paralela a DP, y LJ y MY son paralelas a AP y OR [Prop. II.5]. Ya que \(\rm\dfrac{MY^2}{YI^2}=\dfrac{AP\cdot PB}{DP\cdot PE}\) [Prop. III.19], pero \(\rm\dfrac{AP\cdot PB}{DP\cdot PE}=\dfrac{LJ^2}{JI^2}\), y así \(\rm\dfrac{MY^2}{YI^2}=\dfrac{LJ^2}{JI^2}\).

Por las mismas razones \(\rm\dfrac{MY^2}{YI^2}=\dfrac{QR\cdot RC}{DR\cdot RE}\), \(\rm\dfrac{LJ^2}{JI^2}=\dfrac{OR\cdot RC}{DR\cdot RE}\). Así OR∙RC=QR∙RC, pero esto es imposible.

Q. E. D.