Si se tocan en dos puntos, no se cortarán en ningún otro.

Supongamos C situado entre los puntos de contacto Paso 1. Es evidente que las secciones no serán tangentes entre sí en C, ya que por hipótesis, ellas se tocan en solo dos puntos.

Supongamos que se cortaran en C. Tracemos desde A y B las tangentes AL y BL Paso 2 y bisequemos la recta de unión AB en F Paso 3. La recta de unión LF será un diámetro [Prop. II.29]Paso 4. Evidentemente el diámetro no pasará por C, pues si pasara, la paralela a AB trazada por C sería tangente a las secciones [Prop. II.5 y Prop. II.6], lo que es imposible.

Desde C tracemos una paralela CKGM a AB Paso 5, entonces en una sección CK=KG y en la otra KM=CK, luego KM=KG, lo que es imposible.

Análogamente, si las rectas tangentes a las secciones son paralelas, se llega a un absurdo por las mismas razones anteriores.

Q. E. D.