Una parábola exterior a una hipérbola no la tocará en dos puntos.

Supongamos que la parábola AHB y la hipérbola AMB sean tangentes en los puntos A y B Paso 1. Tracemos tangentes en A y B a cada una de las secciones y supongamos que se cortan en otro punto L Paso 2. Bisequemos la recta de unión AB en F Paso 3, y tracemos la recta de unión LF Paso 4.

Ya que las secciones AGB y AMB son tangentes en A y B, no se cortarán en ningún otro punto, así LF cortará a las secciones en un punto. Supongamos que sean G y M dichos puntos y prolonguemos la recta LF que pasará por el centro D de la hipérbola [Prop. II.29] Paso 5. De acuerdo a las propiedades de la hipérbola, \(\rm \dfrac{FD}{DM}=\dfrac{MD}{DL}=\dfrac{FD-DM}{MD-DL}=\dfrac{FM}{ML}\) [Prop. I.35]. Así \(\rm FM>ML\).

Pero de acuerdo a las propiedades de la parábola [Prop. I.37], FG=GL, pero esto es imposible.

Q. E. D.