Con las mismas hipótesis, si los puntos de corte E y C rodean al punto de contacto B, y si D está en el ángulo adyacente al formado por las asíntotas, entonces la recta que une el punto de contacto con el punto de división corta a la hipérbola opuesta, y la recta que une el punto de corte con D es tangente a la hipérbola opuesta.

Sean B y H hipérbolas opuestas Paso 1, KL y MQN asíntotas Paso 2, y D en el ángulo LQN Paso 3. Además tracemos DB tangente en B Paso 4, y DC secante a una de las hipérbolas Paso 5. Supongamos que los puntos de corte E y C rodean al punto de contacto B, y que ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{F}}{\mathrm{F}\mathrm{E}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{D}}{\mathrm{D}\mathrm{E}}}$ Paso 6.

Es necesario demostrar que la recta de unión BF cortará a la sección H Paso 7, y que la recta de unión DB será tangente a la hipérbola B.

Tracemos desde D una tangente DH a la sección Paso 8, tracemos una recta de unión HB Paso 9 y supongamos que cae sobre G y no sobre F Paso 10. Así ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{D}}{\mathrm{D}\mathrm{E}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{G}}{\mathrm{G}\mathrm{E}}}$ [Prop. III.37]. Pero esto es imposible, pues hemos supuesto ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{D}}{\mathrm{D}\mathrm{E}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{F}}{\mathrm{F}\mathrm{E}}}$.

Q. E. D.