Si una hipérbola toca en un punto a una de las secciones opuestas y la corta en dos puntos, su sección opuesta no cortará a la otra.

Sean ABC y D las hipérbolas opuestas Paso 1, y AGC una hipérbola tangente a ABC en A, y que corta a ABC en B y C, y sea E la hipérbola opuesta de AGC Paso 2. Digo que E no corta a D.

Supongamos que la corta en un punto D Paso 3, tracemos la recta de unión BC y prolonguémosla hasta F Paso 4, y desde A tracemos una tangente AF a la hipérbola Paso 5. Como en la anterior demostración probaremos que F cae en el interior del ángulo comprendido por las asíntotas [Prop. II.25]. Además AF es tangente a las hipérbolas, y prolongando DF corta a la secciones en G y K entre A y B Paso 6. Sea CL/LB=CF/FB, y prolonguemos la recta de unión AL, que corta a ambas hipérbolas [Prop. IV.1]. Sean N y M dichos puntos de corte Paso 7. Así las rectas de unión FN y FM serán tangentes a las hipérbolas [Prop. IV.1]Paso 8 y como en la anterior demostración [Prop. III.37] debido a las propiedades de una de las hipérbolas ${\displaystyle \frac{\mathrm{Q}\mathrm{K}}{\mathrm{K}\mathrm{F}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{Q}\mathrm{D}}{\mathrm{D}\mathrm{F}}}$ Paso 9, y debido a las propiedades de la otra hipérbola ${\displaystyle \frac{\mathrm{Q}\mathrm{G}}{\mathrm{G}\mathrm{F}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{Q}\mathrm{D}}{\mathrm{D}\mathrm{F}}}$, pero esto es imposible. Así no corta a la hipérbola opuesta.

Q. E. D.