Si
una hipérbola toca en un punto a una de las secciones opuestas y la corta en dos puntos, su sección opuesta no cortará a la otra.
Sean ABC y D las hipérbolas opuestas ,
y AGC una hipérbola tangente a ABC en A, y que corta a ABC en B y C, y sea E la hipérbola opuesta de AGC
.
Digo que E no corta a D.
Supongamos que la corta en un punto D ,
tracemos la recta de unión BC y prolonguémosla hasta F ,
y desde A tracemos una tangente AF a la hipérbola .
Como en la anterior demostración probaremos que F cae en el interior del ángulo comprendido por las asíntotas [Prop. II.25].
Además AF es tangente a las hipérbolas, y prolongando DF corta a la secciones en G y K entre A y B
. Sea CL/LB=CF/FB,
y prolonguemos la recta de unión AL, que corta a ambas hipérbolas [Prop. IV.1]. Sean N y M dichos puntos de corte .
Así las rectas de unión FN y FM serán tangentes a las hipérbolas [Prop. IV.1]
y como en la anterior demostración [Prop. III.37] debido a las propiedades de una de las hipérbolas \(\rm\dfrac{QK}{KF}=\dfrac{QD}{DF}\) ,
y debido a las propiedades de la otra hipérbola \(\rm\dfrac{QG}{GF}=\dfrac{QD}{DF}\), pero esto es imposible. Así no corta a la hipérbola opuesta.
Q. E. D.