Ten en cuenta esto. En el caso de la hipérbola, la recta GD abatida sobre el diámetro y determinando las rectas DΒ y DΑ, no toca a la recta ΒΑ, que debe ser cortada según la razón $\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DA}}$. Por otro lado, en el caso de la elipse y la circunferencia, corta a la recta ΒΑ según la razón $\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DA}}$ y nos hace buscar la razón $\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EA}}$ (no hay dificultad, dada una razón, en encontrar una razón igual a ella).

Hay que tener en cuenta que para cada sección hay dos figuras, según se tome el punto Ζ por debajo o por encima del punto G, por lo que en total hay seis casos.

También hace uso de dos lemas, que daremos de inmediato.

Por tanto $\mathrm{AN}\cdot \mathrm{NC}>\mathrm{AO}\cdot \mathrm{OC}$; y $$\frac{\mathrm{NC}}{\mathrm{CO}}>\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{AN}}.$$ Dado que $\mathrm{AN}\cdot \mathrm{NC}>\mathrm{AO}\cdot \mathrm{OC}$, sea $\mathrm{AN}\cdot \mathrm{NC}=\mathrm{AO}\cdot \mathrm{OC}$ con CP > CO. Por tanto $$\frac{\mathrm{NC}}{\mathrm{CP}}=\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{AN}};$$ o, según [Euclides:Prop. V.8], $$\frac{\mathrm{NC}}{\mathrm{CO}}>\frac{\mathrm{NC}}{\mathrm{CP}};$$ por tanto $$\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{AN}}<\frac{\mathrm{NC}}{\mathrm{CO}}.$$

A la inversa también, es obvio que si $$\frac{\mathrm{NC}}{\mathrm{CO}}>\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{AN}},$$ entonces $\mathrm{CN}\cdot \mathrm{NA}>\mathrm{AO}\cdot \mathrm{OC}$. En efecto, sea $$\frac{\mathrm{NC}}{\mathrm{CP}}=\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{AN}},$$ con CP > CO [Euclides:Prop. V.8], ya que $\mathrm{CN}\cdot \mathrm{NA}=\mathrm{AO}\cdot \mathrm{CP}$, entonces $\mathrm{CN}\cdot \mathrm{NA}>\mathrm{AO}\cdot \mathrm{OC}$.

Sobre la misma proposición.

Por lo tanto, como las líneas ΑΝ, ΕG y ΚΒ son paralelas, según [Euclides:Prop. I.29], $$\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{EG}},$$ y $$\frac{\mathrm{ED}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{EG}}{\mathrm{KB}},$$ entonces, a intervalos iguales, $$\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{KB}};$$ por tanto $$\frac{{\mathrm{AD}}^2}{\mathrm{AD}\cdot \mathrm{DB}}=\frac{{\mathrm{AN}}^2}{\mathrm{AN}\cdot \mathrm{KB}};$$ ahora, según [Euclides:Prop. VI.4], $$\frac{{\mathrm{ED}}^2}{{\mathrm{DA}}^2}=\frac{{\mathrm{EG}}^2}{{\mathrm{AN}}^2};$$ a intervalos iguales, $$\frac{{\mathrm{ED}}^2}{\mathrm{AD}\cdot \mathrm{DB}}=\frac{{\mathrm{EG}}^2}{\mathrm{AN}\cdot \mathrm{KB}};$$ por inversión, $$\frac{\mathrm{BD}\cdot \mathrm{DA}}{{\mathrm{ED}}^2}=\frac{\mathrm{KB}\cdot \mathrm{AN}}{{\mathrm{EG}}^2}.$$