Ten en cuenta esto. En el caso de la hipérbola, la recta GD abatida sobre el diámetro y determinando las rectas DΒ y DΑ, no toca a la recta ΒΑ, que debe ser cortada según la razón \(\mathrm{ \frac{BD}{DA}}\). Por otro lado, en el caso de la elipse y la circunferencia, corta a la recta ΒΑ según la razón \(\mathrm{ \frac{BD}{DA}}\) y nos hace buscar la razón \(\mathrm{ \frac{BE}{EA}}\) (no hay dificultad, dada una razón, en encontrar una razón igual a ella).

Hay que tener en cuenta que para cada sección hay dos figuras, según se tome el punto Ζ por debajo o por encima del punto G, por lo que en total hay seis casos.

También hace uso de dos lemas, que daremos de inmediato.

Por tanto \(\mathrm{AN\cdot NC > AO\cdot OC}\); y \[\mathrm{\frac{NC}{CO}>\frac{OA}{AN}}.\] Dado que \(\mathrm{AN\cdot NC > AO\cdot OC}\), sea \(\mathrm{AN\cdot NC = AO\cdot OC}\) con CP > CO. Por tanto \[\mathrm{\frac{NC}{CP}=\frac{OA}{AN}};\] o, según [Euclides:Prop. V.8], \[\mathrm{\frac{NC}{CO}>\frac{NC}{CP}};\] por tanto \[\mathrm{\frac{OA}{AN}<\frac{NC}{CO}}.\]

A la inversa también, es obvio que si \[\mathrm{\frac{NC}{CO}>\frac{OA}{AN}},\] entonces \(\mathrm{CN\cdot NA > AO\cdot OC}\). En efecto, sea \[\mathrm{\frac{NC}{CP}=\frac{OA}{AN}},\] con CP > CO [Euclides:Prop. V.8], ya que \(\mathrm{CN\cdot NA=AO\cdot CP}\), entonces \(\mathrm{CN\cdot NA > AO\cdot OC}\).

Sobre la misma proposición.

Por lo tanto, como las líneas ΑΝ, ΕG y ΚΒ son paralelas, según [Euclides:Prop. I.29], \[\mathrm{\frac{AD}{DE}=\frac{AN}{EG}},\] y \[\mathrm{\frac{ED}{DB}=\frac{EG}{KB}},\] entonces, a intervalos iguales, \[\mathrm{\frac{AD}{DB}=\frac{AN}{KB}};\] por tanto \[\mathrm{\frac{AD^2}{AD\cdot DB}=\frac{AN^2}{AN\cdot KB}};\] ahora, según [Euclides:Prop. VI.4], \[\mathrm{\frac{ED^2}{DA^2}=\frac{EG^2}{AN^2}};\] a intervalos iguales, \[\mathrm{\frac{ED^2}{AD\cdot DB}=\frac{EG^2}{AN\cdot KB}};\] por inversión, \[\mathrm{\frac{BD\cdot DA}{ED^2}=\frac{KB\cdot AN}{EG^2}}.\]