El geómetra Apolonio, mi querido Antemio, nació en Perga, en Panfilia, y vivió durante la época de Ptolomeo Evergetes, como relata Heraclides, biógrafo de Arquímedes. Heraclides también dice que Arquímedes fue el primero en haber descubierto las proposiciones sobre las Cónicas y que Apolonio, habiéndolas encontrado inéditas en Arquímedes, se las había apropiado. En mi opinión, Heraclides está equivocado, porque vemos a Arquímedes señalar en varios lugares que los Elementos de las Cónicas son anteriores a él, y Apolonio no trata estas cuestiones como si fueran una invención propia; de ser así, no diría que son objeto de "un tratamiento más detallado y generalizado en él que en la pluma de los otros autores".

Por otro lado, Gémino tiene razón cuando informa que los Antiguos definieron el cono por la rotación de un triángulo rectángulo alrededor de uno de los lados del ángulo recto que permanece fijo, y al mismo tiempo consideraron que todos los tipos de conos eran rectos y que a cada especie de cono correspondía una sección única: al cono rectángulo correspondía la sección que ahora se llama parábola, al cono obtusángulo la hipérbola, y al cono acutángulo la elipse; es esta terminología de las secciones la que nos encontramos en ellos.

Los antiguos habían procedido de la misma manera con el teorema sobre la igualdad de la suma de los ángulos del triángulo con dos ángulos rectos; estudiaron cada tipo de triángulo por separado y establecieron el teorema primero para el triángulo equilátero, luego para el triángulo isósceles y finalmente para el triángulo escaleno; fueron sus sucesores quienes dieron una demostración general del teorema, enunciándolo de la siguiente forma: "En cualquier triángulo, la suma de los tres ángulos interiores es igual a dos ángulos rectos" [Euclides:Prop. I.32]. Lo mismo se aplica al caso de las secciones cónicas. Los antiguos estudiaron lo que llamaron la sección del cono recto en el caso del cono rectángulo cortado por un plano que forma un ángulo recto con uno de los lados del cono; realizaron sus demostraciones sobre la sección del cono obtusángulo y la del cono acutángulo respectivamente en el caso del cono obtusángulo y del cono acutángulo, trazando para todos los tipos de cono de forma similar un plano que forma un ángulo recto con uno de los lados del cono. Esto es precisamente lo que muestran los antiguos nombres de las líneas.

Fue más tarde cuando Apolonio de Perga hizo un estudio general del mismo y demostró que todas las secciones pueden obtenerse en cualquier cono, ya sea recto o oblicuo, según las diferentes formas en que el plano se corta con el cono. En admiración por esto, y debido a la notable naturaleza de los teoremas sobre cónicas demostrados por él, sus contemporáneos lo llamaron el "Gran Geómetra".

Esto es lo que dice Gémino en el Libro VI de su Teoría de las Matemáticas. Ilustraremos sus observaciones con las figuras que siguen.

Sea un triángulo ΑΒG que pasa por el eje del cono; tracemos una recta DΕ desde cualquier punto Ε perpendicular a ΑΒ, y un plano por DΕ perpendicular a ΑΒ que corte al cono; por tanto \(\widehat{\mathrm{AED}}\) y \(\widehat{\mathrm{AEZ}}\) son rectos.

Figura 1 Si el cono es rectángulo, lo que significa que \(\widehat{\mathrm{BAG}}\) es recto, como se ve en la primera figura, \(\widehat{\mathrm{BAG}}+\widehat{\mathrm{AEZ}}\) será igual a dos rectos, por lo que DΕΖ será paralela a ΑG. Obtenemos entonces una sección en la superficie cónica llamada parábola, que recibe su nombre del hecho de que la recta DΕΖ, intersección del plano secante y el triángulo axial, es paralela al lado ΑG del triángulo.

Figura 2 Si el cono es obtusángulo, como se ve en la segunda figura, lo que significa que \(\widehat{\mathrm{BAG}}\) es obtuso - siendo \(\widehat{\mathrm{AEZ}}\) recto - \(\widehat{\mathrm{BAG}}+\widehat{\mathrm{AEZ}}\) será mayor que dos rectos, de modo que la recta DΕΖ no se encontrará con el lado ΑG en el lado de Ζ y G, sino en el lado de Α y Ε, siempre, claro está, que GΑ se prolongue hasta el punto D [Euclides:Postulado 5]. El plano de intersección producirá así en la superficie cónica una sección llamada hipérbola, que toma su nombre del hecho de que \(\widehat{\mathrm{BAG}}+\widehat{\mathrm{AEZ}}\) es mayor que dos rectos, o del hecho de que la recta DΕΖ supera al vértice del cono y se encuentra con la recta GΑ más allá del vértice.

Figura 3 Si el cono es acutángulo, lo que significa que \(\widehat{\mathrm{BAG}}\) es agudo, \(\widehat{\mathrm{BAG}}+\widehat{\mathrm{AEZ}}\) será menor que dos rectos, por lo que las rectas ΕΖ y ΑG, prolongadas, siempre se encontrarán en algún lugar, ya que puedo prolongar el cono. Así, tendremos una sección en la superficie llamada elipse, que recibe su nombre o bien por el hecho de que la suma de los ángulos en cuestión es menor que dos rectos, o bien por el hecho de que la elipse es un círculo imperfecto.

Los antiguos suponían, por su parte, un plano secante que pasaba por la recta DΕΖ y perpendicular al lado ΑΒ del triángulo axial, y además habían estudiado diferentes conos y una sección particular para cada cono. Apolonio, por su parte, suponiendo ... tanto un cono recto como uno oblicuo, había obtenido diferentes secciones al variar la inclinación del plano secante.

Tomemos de nuevo las mismas figuras y sea un plano secante ΚΕL, su intersección ΚΖL con la base del cono y, análogamente, la intersección ΕΖ del plano ΚΕL y el triángulo ΑΒG, también llamado diámetro de la sección.

En primer lugar, en todos los tipos de secciones, Apolonio supone la recta ΚL perpendicular a la base ΒG del triángulo ΑΒG. Entonces, si ΕΖ es paralela a ΑG, la sección ΚΕL en la superficie del cono es una parábola; si ΕΖ se encuentra con el lado ΑG por encima del vértice del cono en un punto D, la sección ΚΕL es una hipérbola; si ΕΖ se encuentra con ΑG por debajo, la sección es una elipse, que se sigue llamando "escudo".

En resumen, pues, el diámetro de la parábola es paralelo a uno de los lados del triángulo, el de la hipérbola se encuentra con el lado del triángulo en el lado del cono, y el de la elipse se encuentra con el lado del triángulo en el lado del de la base. Por último, cabe señalar que la parábola y la hipérbola forman parte de líneas que crecen hasta el infinito, lo que no es el caso de la elipse que, por su parte, vuelve sobre sí misma, al igual que el círculo.

Dado que existen varias ediciones de la obra, como dice el propio Apolonio, he creído conveniente reunirlos en uno solo, colocando en el texto las partes más evidentes entre lo que estaba disponible para mí, para la conveniencia de la iniciación, y anotando al margen, como debe ser, en los comentarios que escribí, las diferentes los diferentes tipos de demostraciones que se presentaron.

En su dedicatoria dice que los cuatro primeros libros están dedicados a la exposición de los elementos.

El primero incluye el modo de generación de las tres secciones cónicas y las llamadas secciones opuestas, así como sus propiedades fundamentales. - Estos son las que aparecen con el modo de generación inicial, ya que estas secciones tienen consecuencias posteriores.

El segundo trata de las propiedades de los diámetros y ejes de las secciones, así como de las asíntotas y otros temas útiles en general y especialmente necesarios para los diorismos. - Todo el mundo sabe que hay dos tipos de diorismos. Uno tiene lugar después de la exposición y enuncia lo que se busca; el otro niega que la proposición sea general y dice cuándo, cómo y de cuántas maneras es posible construir lo que se propone, como por ejemplo en [Euclides:Prop. I.22] "Con tres rectas, iguales a tres rectas dadas, construir un triángulo. La suma de dos rectas, permutadas de cualquier manera, debe ser mayor que la tercera, pues se demuestra que, en cualquier triángulo, la suma de dos lados, permutados de cualquier manera, es mayor que el tercero".

El tercer Libro de las Cónicas contiene, dice, un gran número de teoremas admirables, útiles para la construcción de lugares sólidos. - Los antiguos geómetras solían hablar de lugares planos cuando, en los problemas, no es un solo punto, sino varios los que permiten resolver el problema.

Supongamos, por ejemplo, que se pide, dada una recta finita, encontrar un punto tal que la perpendicular trazada desde este punto a la recta dada sea la media proporcional entre los segmentos [[Euclides:Prop. VI.13]. Hablamos entonces de un lugar, porque no es sólo un punto el que es la solución del problema, sino todo el lugar ocupado por la circunferencia del círculo descrito alrededor del diámetro que es la recta dada. En efecto, si se describe un semicírculo sobre la recta dada, cualquier punto que tomemos en la circunferencia desde el que se trace una perpendicular al diámetro será una solución al problema.

Del mismo modo, supongamos que se pide, dada una recta, encontrar un punto fuera de la recta tal que las rectas que unen este punto con los extremos de la recta sean iguales entre sí. También en este caso, no es sólo un punto la solución del problema, sino el lugar que ocupa la recta perpendicular levantada en el punto medio de la recta. En efecto, si dividimos la recta dada en dos partes iguales, y desde el punto medio de la recta levantamos una perpendicular, cualquier punto que tomemos en la perpendicular será una solución del problema.

El propio Apolonio escribe cosas similares sobre el tema en "Lugares planos": Dados dos puntos en un plano y una razón de dos rectas desiguales, es posible describir un círculo en el plano, tal que las rectas que unen los puntos dados a la circunferencia del círculo tienen una razón idéntica a la razón dada.

Figura 4 Sean dados los puntos Α y Β y una relación \(\mathrm{\frac{G}{D}}\), con G > D.

Tenemos que resolver el problema propuesto.

Tracemos la recta de unión ΑΒ y prolonguémosla por el lado de Β; sea G > D, con \[\mathrm{\frac{G}{D+E}=\frac{D}{G}};\] análogamente, sea \[\mathrm{\frac{D}{BZ}=\frac{G}{H}=\frac{E}{AB}}.\] Es evidente que G es la media proporcional de D y Ε + D y que Η es la media proporcional de ΑΖ y ΖΒ. Ya que \[\mathrm{\frac{E}{AB}=\frac{D}{BZ}=\frac{G}{H}=\frac{E+D}{AZ}},\] entonces \[\mathrm{\frac{E+D}{G}=\frac{AZ}{H}=\frac{G}{D}=\frac{H}{BZ}}.\]

Sea, con centro Ζ y radio Η, un círculo ΚQ. Es evidente que la circunferencia del círculo ΚQ interseca a la recta ΑΒ, ya que Η es la media proporcional de ΑΖ y ΖΒ.

Tomemos un punto Q cualquiera de la circunferencia y tracemos las rectas de unión QΑ, QΒ y QΖ. Por tanto QΖ = Η, y, por esta razón, \[\mathrm{\frac{ZQ}{ZB}=\frac{AZ}{ZQ}};\] por otra parte, esta proporcionalidad de los lados es alrededor del mismo ángulo QΖΒ; por tanto el triángulo ΑΖQ es semejante al triángulo QΒΖ, y \(\widehat{\mathrm{ZQB}}=\widehat{\mathrm{QAB}}\) [Euclides:Prop. VI.6].

Tracemos por Β una paralela ΒL a ΑQ.

Por lo tanto, como \[\mathrm{\frac{QZ}{ZB}=\frac{AZ}{ZQ}},\] entonces, según [Euclides:Def. V.9], \[\mathrm{\frac{AZ^2}{ZQ^2}=\frac{AZ}{ZB}};\] o, según [Euclides:Prop. VI.4] ,\[\mathrm{\frac{AQ}{BL}=\frac{AZ}{ZB}};\] por tanto \[\mathrm{\frac{AQ}{BL}=\frac{AZ^2}{ZQ^2}}.\]

Del mismo modo, como \(\widehat{\mathrm{BQZ}}=\widehat{\mathrm{QAB}}\) y como, por otro lado, \(\widehat{\mathrm{AQB}}=\widehat{\mathrm{QBL}}\) [Euclides:Prop. I.29], ya que son ángulos alternos, entonces el ángulo restante también es igual al ángulo restante, el triángulo ΑQΒ es semejante al triángulo ΒQL, y los lados que comprenden ángulos iguales son proporcionales [Euclides:Prop. VI.4]: \[\mathrm{\frac{QB}{BL}=\frac{AQ}{QB}},\] y \[\mathrm{\frac{AQ}{BL}=\frac{AQ^2}{QB^2}},\] [Euclides:Def. V.9].

Ahora, como hemos visto, \[\mathrm{\frac{AZ^2}{ZQ^2}=\frac{AQ}{BL}};\]; por tanto \[\mathrm{\frac{AQ^2}{QB^2}=\frac{AZ^2}{ZQ^2}},\], y, por esta razón, \[\mathrm{\frac{AQ}{QB}=\frac{AZ}{ZQ}};\] o \[\mathrm{\frac{E+D}{G}=\frac{G}{D}=\frac{AZ}{ZQ}};\] por tanto \[\mathrm{\frac{AQ}{QB}=\frac{G}{D}}.\]

Se demostrará igualmente que todas las rectas que unen los puntos Α y Β a la circunferencia del círculo tienen la misma razón que la las rectas G y D.

Digo ahora que, en el caso de un punto que no pertenece a la circunferencia del círculo, la razón de dos rectas que unen los puntos Α y Β a este punto no es idéntica a la razón entre G y D.

Que sea así en el caso de un punto Μ situado fuera de la circunferencia, si es posible (es inútil razonar en el caso de un punto interior, ya que, sea cual sea la hipótesis considerada, se encontrará el mismo absurdo).Tracemos las líneas de unión ΜΑ, ΜΒ y ΜΖ, y sea \[\mathrm{\frac{AM}{MB}=\frac{G}{D}}.\] Por tanto, \[\mathrm{\frac{(E+D)^2}{G^2}=\frac{AM^2}{MB^2}=\frac{E+D}{D}};\] pero se ha supuesto que \[\mathrm{\frac{AZ}{ZB}=\frac{E+D}{D}};\] por lo que \[\mathrm{\frac{AM^2}{MB^2}=\frac{AZ}{ZB}}.\] Por otro lado, en virtud de la demostración vista anteriormente, si desde Β trazamos una paralela a ΑΜ, se demostrará que \[\mathrm{\frac{AZ^2}{ZM^2}=\frac{AZ}{ZB}};\] como también se demostró que \[\mathrm{\frac{AZ^2}{ZQ^2}=\frac{AZ}{ZB}},\] entonces ΖQ = ΖΜ, que es imposible.

Estos son los tipos de lugares que se denominan planos. En cuanto a los lugares llamados sólidos, toman su nombre del hecho de que las líneas utilizadas para resolver los problemas relativos a estos lugares son generadas por la sección de los sólidos, como las secciones cónicas y otras.

También hay otros lugares, llamados de superficie, que toman su nombre de la peculiaridad que les corresponde.

Si Apolonio reprocha a Elementos, no es, como creen Papo y otros, porque Elementos no hubiese encontrado las dos medias proporcionales: primero, Elementos descubrió la media proporcional única, muy correctamente y no "infelizmente", para usar la expresión de Apolonio; en segundo lugar, en los Elementos, no emprendió la investigación de las dos medias proporcionales en absoluto; finalmente, el propio Apolonio, en el Libro III, no parece en absoluto haber investigado sobre las dos medias proporcionales. Aparentemente, se trata de otra obra de Elementos sobre los lugares a la que Apolonio reprocha, una obra que no ha llegado hasta nosotros.

Lo que dice a continuación del libro IV es inequívoco. En cuanto al Libro V, dice que contiene el tratamiento de los mínimos y los máximos. En los Elementos, en relación con el círculo, se aprendió que hay un punto fuera del círculo, tal que la mayor de las rectas desde este punto hasta la parte cóncava de la circunferencia es la que pasa por el centro y la la menor de las rectas que lleva a la parte convexa de la circunferencia es el que está entre el punto y el diámetro [Euclides:Prop. III.8]. Esta es la misma investigación que Apolonio realiza en el Libro V en el caso de las secciones de cono. Finalmente, Apolonio establece claramente el propósito de los libros VI, VII y VIII. Hasta aquí la dedicatoria.