Si la recta DG es perpendicular al círculo ΑΒ, llama al cono recto; si no es perpendicular, lo llama oblicuo.

Se tendrá un cono oblicuo cuando se tome un círculo, y desde su centro se levante una recta que no sea perpendicular al plano del círculo, y desde la referencia de la recta así levantada, cuya referencia está situada por encima del plano del círculo, se trace una recta de unión al círculo, y se haga girar esta recta alrededor de la circunferencia, quedando fijo el punto situado en la marca (por encima del plano del círculo) de la recta levantada. La figura así delimitada será un cono oblicuo.

Es obvio que la recta movida por un movimiento circular será mayor o menor en su rotación y que, en ciertas posiciones y en varios puntos del círculo, también será igual. La demostración es la siguiente.

Si desde el vértice de un cono oblicuo se trazan rectas hasta la base, hay una que es la menor de todas las rectas trazadas desde el vértice hasta la base, y una que es la mayor; sólo hay dos que son iguales a cada lado de la menor y la mayor, y, de dos rectas, es cada vez más pequeña la más cercana de la recta menor que la más alejada de ella.

Sea un cono oblicuo, con base el círculo ΑΒG y vértice el punto D.

Como la perpendicular trazada desde el vértice del cono oblicuo al plano de la base caerá o bien en la circunferencia del círculo ΑΒGΖΗ, o bien fuera, o bien dentro, supongamos que cae primero sobre la circunferencia, como la recta DΕ de la primera figura.

Tómese el centro del círculo y sea el punto Κ; trácese una recta de unión ΕΚ desde el punto Ε hasta el punto Κ y prolónguese hasta un punto Β; trácese una recta de unión ΒD ; tomemos \(\overparen{\mathrm{EZ}}=\overparen{\mathrm{EH}}\) a cada lado de Ε, y, a cada lado de Β, \(\overparen{\mathrm{AB}}=\overparen{\mathrm{BG}}\), y tracemos rectas de unión ΕΖ, ΕΗ, DΖ, DΗ, ΕΑ, ΕG, ΑΒ, ΒG, DΑ y DG.

Por tanto, como ΕΖ = ΕΗ, ya que subtienden arcos iguales [Euclides:Prop. III.29], y como DΕ es común y perpendicular, DΖ = DΗ [Euclides:Prop. I.4].

Del mismo modo, como \(\overparen{\mathrm{AB}}=\overparen{\mathrm{BG}}\), y ΒΕ es el diámetro, \(\overparen{\mathrm{EZG}}=\overparen{\mathrm{EHA}}\), de modo que ΑΕ = ΕG [Euclides:Prop. III.29]; como la recta ΕD es común y perpendicular; por tanto DΑ = DG [Euclides:Prop. I.4]. Del mismo modo se demostrará que todas las rectas igualmente alejadas de DΕ o de DΒ son iguales.

Del mismo modo, como el ángulo DΕΖ del triángulo DΕΖ es recto, DΖ > DΕ [Euclides:Prop. I.19].

Del mismo modo, como ΕΑ > ΕΖ, porque \(\overparen{\mathrm{EZA}}>\overparen{\mathrm{EZ}}\) [Euclides:Prop. III.29], y la recta DΕ es común y perpendicular, entonces DΖ < DΑ. Por las mismas razones, también DA < DΒ.

Por lo tanto, dado que se ha demostrado que DΕ < DΖ, DΖ < DΑ y DΑ < DΒ, DΕ es la recta más pequeña y DΒ es la recta más grande, y es cada vez la más cercana a DΕ es más pequeña que la más lejana.

Ahora dejemos que la perpendicular caiga fuera del círculo ΑΒGΗΖ, como la recta DΕ de la segunda figura; tomemos, de nuevo, el centro Κ del círculo; tracemos una recta de unión ΕΚ y prolonguémosla hasta un punto Β ; tracemos las rectas de unión DΒ, DQ; tomemos \(\overparen{\mathrm{QZ}}=\overparen{\mathrm{QH}}\) a cada lado de Q, y, a cada lado de Β, \(\overparen{\mathrm{AB}}=\overparen{\mathrm{BG}}\), y tracemos las rectas de unión ΕΖ, ΕΗ, ΖΚ, ΗΚ, DΖ, DΗ, ΑΒ, ΒG, ΚΑ, ΚG, DΚ, DΑ y DG.

Por tanto, como \(\overparen{\mathrm{QZ}}=\overparen{\mathrm{QH}}\), entonces \(\widehat{\mathrm{QKZ}}=\widehat{\mathrm{QKH}}\) [Euclides:Prop. III.27].

Por tanto, como ΖΚ = ΚΗ, la recta ΚΕ es común, y \(\widehat{\mathrm{ZKE}}=\widehat{\mathrm{HKE}}\), también ΖΕ = ΗΕ [Euclides:Prop. I.4]. Por tanto, como ΖΕ = ΗΕ, y DΕ es común y perpendicular, DΖ = DΗ [Euclides:Prop. I.4].

Del mismo modo, como \(\overparen{\mathrm{BA}}=\overparen{\mathrm{BG}}\), entonces \(\widehat{\mathrm{AKB}}=\widehat{\mathrm{GKB}}\) [Euclides:Prop. III.27], de modo que \(\widehat{\mathrm{AKE}}=\widehat{\mathrm{GKE}}\).

Por lo tanto, dado que ΑΚ = GΚ, que ΚΕ es común, que dos lados son iguales a dos lados, \(\widehat{\mathrm{AKE}}=\widehat{\mathrm{GKE}}\); por tanto AE = GΕ.

Por lo tanto, dado que ΑΕ = GΕ, ΕD es común y perpendicular, entonces DΑ = DG [Euclides:Prop. I.4]. De manera similar se mostrará que todas las rectas igualmente distantes de DΒ o DΘ son iguales.

Dado que ΕQ < ΕΖ, y ΕD es común y perpendicular, entonces DQ < DΖ [Euclides:Prop. I.47].

De manera similar, dado que la tangente al círculo trazada desde Ε es mayor que todas las rectas que se encuentran con la circunferencia convexa, y en [Euclides:Prop. III.36] se ha demostrado que \(\mathrm{AE\cdot EL=EZ^2}\), cuando es una tangente, entonces, según [Euclides:Prop. VI.17], \[\mathrm{\frac{EZ}{EL}=\frac{AE}{EZ}};\] o ΕΖ > ΕL [Euclides:Prop. III.8], ya que es cada vez la más cercana a la recta menor es más pequeña que la más alejada de ella.

Por tanto, también AE > ΕΖ [Euclides:Prop. V.14].

Por lo tanto, dado que ΕΖ < ΕΑ, que ΕD es común y perpendicular, DΖ < DΑ [Euclides:Prop. I.47].

De manera similar, dado que ΑΚ = ΚΒ y ΚΕ es común, entonces ΑΚ + ΚΕ = ΕΚ + ΚΒ = EKB; ahora ΑΚ + ΚΕ > ΑΕ [Euclides:Prop. I.20]; por tanto, ΒΕ > ΑΕ.

De manera similar, dado que ΑΕ < ΕΒ, ΕD es común y perpendicular, DΑ < ΒD [Euclides:Prop. I.47].

Por lo tanto, dado que DQ < DΖ, DΖ < DΑ y DΑ < DΒ, DQ es la recta más pequeña, DΒ es la recta más grande, y es cada vez la más cercana, etc.

Ahora supongamos que la perpendicular cae dentro del círculo ΑΒGΗΖ, como DΕ en la tercera figura; tomemos el centro Κ del círculo; tracemos una recta de unión ΕΚ que se prolonga por ambos lados hasta los puntos Β y Q ; tracemos las rectas de unión DQ y DΒ; tomemos \(\overparen{\mathrm{QZ}}=\overparen{\mathrm{QH}}\) a cada lado de Q, y, a cada lado de Β, \(\overparen{\mathrm{AB}}=\overparen{\mathrm{BG}}\), y tracemos las rectas de unión ΕΖ, ΕΗ, ΖΚ, ΗΚ, DΖ, DΗ, ΚΑ, ΚG, ΕΑ, ΕG, DΑ, DG, ΑΒ y ΒG.

Por lo tanto, como \(\overparen{\mathrm{QZ}}=\overparen{\mathrm{QH}}\), entonces \(\widehat{\mathrm{QKZ}}=\widehat{\mathrm{QKH}}\) [Euclides:Prop. III.27]. Como ΚΖ = ΗΚ, ΚΕ es común y \(\widehat{\mathrm{ZKE}}=\widehat{\mathrm{HKE}}\), ΖΕ = ΗΕ [Euclides:Prop. I.4].

Por tanto, como ΖΕ = ΗΕ, la recta ΕD es común, y \(\widehat{\mathrm{ZED}}=\widehat{\mathrm{HED}}\), entonces DΖ = DΗ [Euclides:Prop. I.4].

Del mismo modo, como \(\overparen{\mathrm{ABZ}}=\overparen{\mathrm{BG}}\), entonces \(\widehat{\mathrm{AKB}}=\widehat{\mathrm{GKB}}\) [Euclides:Prop. III.27], por lo que \(\widehat{\mathrm{AKE}}=\widehat{\mathrm{GKE}}\).

Por lo tanto, como ΑΚ = ΚG, ΕΚ es común y \(\widehat{\mathrm{AKE}}=\widehat{\mathrm{GKE}}\), entonces ΑΕ = GΕ.

Por lo tanto, como ΑΕ = GΕ, ΕD es común, y \(\widehat{\mathrm{AED}}=\widehat{\mathrm{GED}}\), entonces DΑ = DG.

Del mismo modo se demostrará que todas las rectas que distan igualmente de DΒ o DQ son iguales.

Como en un círculo ΑΒG, se toma sobre el diámetro un punto Ε que no es el centro del círculo, ΕΒ es la recta mayor, ΕQ la recta menor, y es en cada caso la más cercana a ΕQ es más pequeña que la más alejada de ella [Euclides:Prop. III.7], por lo que ΕQ < ΕΖ.

Como QΕ < ΖΕ, y ΕD es común y perpendicular a estas rectas, entonces DQ < DΖ [Euclides:Prop. I.47].

Del mismo modo, como ΕΖ está más cerca de ΕQ y ΑΕ está más lejos, ΕΖ < ΑΕ. Por lo tanto, como ΕΖ < ΕΑ, ΕD es común y perpendicular a estas rectas, DΖ < DΑ.

Del mismo modo, puesto que ΑΚ = ΚΒ, y ΚΕ es común, las dos rectas ΑΚ y ΚΕ son iguales a las dos rectas ΒΚ y ΚΕ, es decir, a toda la recta ΒΚΕ; o ΑΚ + ΚΕ > ΑΕ [Euclides:Prop. I.20]; por tanto, ΕΒ > ΕΑ.

Del mismo modo, como ΕΑ < ΕΒ, ΕD es común y perpendicular a estas rectas, DΑ < DΒ.

Por tanto, como DQ < DΖ, DΖ < DΑ y DΑ < DΒ, la recta DQ es la recta más pequeña, etc.