Si desde un punto situado en el eje mayor de una elipse a una distancia del vértice de la sección, mayor que la mitad del lado recto, si se divide la recta determinada por el vértice de la sección y este punto en segmentos para que el segmento, ubicado entre el centro de la sección y el punto de corte, es decir a la distancia de este mismo punto en punto tomado primero en el eje en la relación del diámetro transverso al lado derecho; si, en el punto de corte se levanta una perpendicular al eje hasta que corte a la sección, la recta que une su punto de intersección con el punto tomado en el eje, es la menor de todas las que se pueden trazar desde dicho punto a la sección; mientras que, entre las demás, la más cercana será menor que la más alejada. Además, la diferencia entre los cuadrados de una de esas rectas y la mínima es equivalente al rectángulo que, construido, a partir de las rectas anteriores, es semejante al rectángulo de lados el diámetro transverso y la diferencia entre el diámetro transverso y el lado recto.

Sea una elipse ABC con eje mayor AC, y centro el punto D Paso 1. Sea EC > 1/2(lado recto) Paso 2, y sea DF/FE = AC/lado recto Paso 3. Tracemos una perpendicular FG al eje desde el punto F, que extendemos hasta el punto E' Paso 4 y tracemos la recta de unión EG Paso 5. Digo que la recta EG es la menor de las rectas que pueden trazar desde el punto E a la sección, y que, de las otras rectas, las más cercanas son menores que las más alejadas. Además, digo que la diferencia del cuadrado de cualquiera de las rectas y el cuadrado de esta recta mínima es equivalente al rectángulo que, construido sobre la recta entre el pie de la perpendiculares de ellas al punto F semejante al rectángulo delimitado por el eje AC y el exceso del eje sobre el lado recto cuando el eje AC corresponde a la recta entre el punto F y el pie de la perpendicular.

Tracemos las rectas KE, EH, LE, ME Paso 6 y perpendiculares KR, HX, LD, MP, H'A Paso 7 y sea BE perpendicular a AC Paso 8 y CN =1/2(lado recto) Paso 9. Tracemos las rectas de unión ND, EE', y prolonguémoslas Paso 10, y prologuemos las rectas HX hasta cortarlas en G', D' Paso 11, y BE hasta cortar a ND en S Paso 12. Tenemos DC=½(diam.trans.) y CN=½(lado recto); luego DC/CN = diam.trans./lado recto. Como DE/EF = diam.trans./lado recto, entonces DF/FE = DC/CN. Como se tiene que, por semejanza de triángulos, DC/CN = DF/FE', luego DF/FE = DF/FE' y por tanto FE = FE'. Tracemos también las rectas IE', G'T', D'T paralelas al eje AC Paso 13. Tenemos FE²= FE·FE'=2△(FEE'). Por otra parte, FG² = 2⏢(CNFE')[Prop. V.1]. Entonces FE² + FG²=2(△(FEE')+⏢(CNFE')), o EG² = 2⏢(CNEE'). Por otro lado, HX² = 2⏢(CNXG')[Prop. V.1], y ya que el triángulo D'EX es semejante al triángulo isósceles E'EF tenemos EX=XD', de donde EX²=EX·XD'=2△(XD'E)=2(⏢(XG'E'E)+△(G'E'D')), luego HX²+EX²= 2(⏢(CNXG')+⏢(XG'E'E)+△(G'E'D')), o EH²=2(⏢(CNEE')+△(G'E'D')), de donde EH²-EG²=2△(G'E'D'). Como 2△(G'E'D')=TD'·D'G', entonces EH²-EG²=TD'·D'G'.

Además, por semejanza de triángulos, DF/FE'=E'H'/H'G' y DF/FE'= DC/CN=diam.trans./lado recto, luego E'H'/H'G' = diam.trans./lado recto, y ya que, E'H'=H'D', tenemos que H'D'/H'G' = diam.trans./lado recto, de donde H'D'/(H'D'-H'G') = H'D'/D'G'=diam.trans./(diam.trans-lado recto)=AC/(AC-2CN), luego, ya que H'D'=E'H'=TD', tenemos que TD'/D'G'=AC/(AC-2CN), de donde el rectángulo de lados TD' y D'G' es semejante al rectángulo de lados AC y AC-2CN, y D'G'=TD'((AC-2CN)/AC)=FX((AC-2CN)/AC), luego EH²-EG²=FX²((AC-2CN)/AC).

Análogamente se prueba que EK²-EG²=FR²((AC-2CN)/AC) y EC²-EG²=FC²((AC-2CN)/AC).

Por tanto EG² = EH²-FX²((AC-2CN)/AC) = EK²-FR²((AC-2CN)/AC) = EC²-FC²((AC-2CN)/AC). Como FX < FR < FC, entonces EG < EH < EK < EC.

Por otro lado, BE²=2⏢(CNES) [Prop. V.1]. Como, EG²=2⏢(CNEE'), entonces BE²-EG² = 2(⏢(CNES)-⏢(CNEE')) = 2△(EE'S) = EF·SE. Como, se prueba de manera análoga, SE/EF = (AC-2CN)/AC, entonces SE = EF((AC-2CN)/AC), luego BE²-EG² = EF²((AC-2CN)/AC). Del mismo modo, DL² = 2△(CDN) = 2(△(E'ED)+⏢(CNEE'))[Prop. V.2]. Como, el triángulo DEY es semejante al triángulo isósceles FEE', se tiene DE = DY, de donde DE² = DE·DY=2△(DEY). Luego DE² + DL² = 2(△(DEY)+△(E'ED)+⏢(CNEE')), o LE² = 2(△(DYE')+⏢(CNEE')), de donde, ya que EG² = 2⏢(CNEE'), se tiene LE² - EG²=2△(DYE') = DF·DY. Como, el rectángulo delimitado por DF y DY es semejante al rectángulo delimitado por AC y AC-2CN, entonces DY/DF = AC/(AC-2CN), de donde DY = DF(AC/(AC-2CN)), luego EL²-EG² = DF²((AC-2CN)/AC).

Además, MP² = 2⏢(QOPA)[Prop. V.1]. Como, se tiene que PE = PS', entonces PE² = PE·PS' = 2△(PES'), luego MP²+ PE² = 2(⏢(QOPA)+△(PES')) = 2(⏢(QOPA)+△(PDO)+⏢(EDOS')), o ME² = 2(△(CDN)+⏢(EDOS')) = 2(△(QDA)+⏢(EDOS')) = 2(⏢(CNEE')+△(E'DE)+⏢(EDOS')) = 2(⏢(CNEE')+△(OE'S')), de donde, ya que EG² = 2⏢(CNEE'), se tiene que ME²-EG²=2△(OE'S') = FP·OS'. Como, se obtiene como antes, OS'/FP = (AC-2CN)/AC, entonces OS' = FP((AC-2CN)/AC), luego ME²-EG² = FP²((AC-2CN)/AC).

Finalmente, AE² = AE·AH' = 2△(EAH') = 2(⏢(EDQH')+△(DAQ)) = 2(⏢(EDQH')+△(DCN)) = 2(⏢(EDQH')+△(DE'E)+⏢(CNEE')) = 2(△(H'E'Q)+⏢(CNEE')), de donde, ya que EG² = 2⏢(CNEE'), se tiene que AE²-EG² = 2△(H'E'Q) = FA·QH'. Como, se obtiene como antes, QH'/FA = (AC-2CN)/AC, entonces QH' = FA((AC-2CN)/AC), luego AE²-EG² = FA²((AC-2CN)/AC).

Como, EF < DF < PF < AF, entonces BE < EL < EM < EA. Por lo tanto, la recta EG es la menor de las rectas que se pueden trazar del punto E a la sección. Por otra parte, entre estas rectas, la más cercana por ambos lados a esta última es menor que la más alejada, y los excesos de los cuadrados de estas rectas sobre el cuadrado de la recta EG son equivalentes a los rectángulos que, construidos en las líneas interceptadas por las perpendiculares, son semejantes al rectángulo que hemos determinado; cosas que han sido demostradas.

Q. E. D.