Si
desde un punto del eje de una hipérbola se traza una recta
mínima que forme con el eje un ángulo, este será agudo, y el pie de la
ordenada de la recta dividirá al segmento comprendido entre el punto y
el centro de la hipérbola en dos partes cuya razón es la del eje transverso
al lado recto.
Sea AB una hipérbola , cuyo eje es la recta BC . Sea AC
la recta mínima trazada desde el punto C , y sea D
el centro . Digo que ∠(ACB) es agudo, y que la perpendicular
trazada desde A al eje BC divide a la recta CD en dos partes tales que una parte de las dos es a la otra,
como el eje transverso es al lado recto.
En efecto, BC > 1/2(lado recto) [Prop. V.5,Prop. V.7],
mientras BD = 1/2(lado transverso);
por lo tanto BD/DC < lado transverso/lado recto.
Dividamos la recta CD en dos segmentos, en un
punto E, tal que DE/EC = lado transverso/lado recto .
Digo que la perpendicular elevada en el punto E, a la recta CD,
pasa por la punto A .
En efecto, si no fuera así, supongamos que
esta perpendicular es la recta EF ,
y tracemos la recta de unión CF . Entonces,
CF es la menor de las rectas que se pueden trazar por el punto C [Prop. V.9];
lo cual es absurdo, porque hemos supuesto que AC es la recta mínima.
En consecuencia, la perpendicular elevada
desde el punto E pasa por el punto A de la
de la sección, y ∠(ACB) es agudo . Además, la perpendicular abatida
desde el punto A divide a la recta CD de tal manera que DE/EC = lado transverso/lado recto.
Q. E. D.