Ahora, sea el diámetro transverso mayor que el lado recto.

Digo que ciertas rectas mínimas, trazadas desde la sección ABC Paso 1, y prolongadas, cortan a la otra parte de la sección, mientras que otras rectas mínimas no la cortarán.

Sean FD, DG sean las dos asíntotas de la sección Paso 2. Entonces, ya que el diámetro transverso es mayor que el lado recto, DB > BH Paso 3, luego FB/BH > FB/DB Paso 4. Tomemos un punto K tal que KB/BH = FB/DB Paso 5, de donde KB < FB; luego, la prolongación de DK cortará a la hipérbola [Prop. II.2]. Supongamos que el encuentro tiene lugar en el punto A Paso 6; tracemos, desde el punto A, la recta AL perpendicular al eje DE Paso 7, y hagamos DL/LE = DB/BH = diámetro transverso/lado recto. Entonces, ya que la recta AL es perpendicular, la recta interceptada AE Paso 8 será una de las rectas mínimas [Prop. V.9]. Por otro lado, ya que BK/BD = AL/LD y DB/BH = DL/LE, se sigue que, AL/LD·LD/LE = BK/BD·BD/BH, o AL/LE = BK/BH. Pero BK/BH = FB/BD; por lo tanto AL/AE = FB/BD. Ya que, ∠(FBD) = ∠(ALE), porque son rectos; por lo tanto, los triángulos △(FBD), △(ALE) son semejantes, y ∠(FDB) = ∠(AEL), de ahí ∠(BDG) = ∠(AEL). Entonces, las rectas DG, AE son paralelas, y la recta AE prolongada, al no cortar a las dos asíntotas, no cortará a la hipérbola más que en el punto A [Prop. II.8]. Y en cuanto a las rectas mínimas trazadas entre B y E, los ángulos que forman con ΒΕ son menores que ∠(AEB) [Prop. V.36]. Pero ∠(AEB) = ∠(BDG). Por lo tanto, los ángulos que las rectas mínimas trazadas entre Β y Ε forman con el eje son menores que ∠(BDG), por lo tanto cuando se prolongan, no cortan a DG ni a la sección ΒC, por la razón mencionada anteriormente [Prop. II.8]. En cuanto a las otras rectas mínimas, ya que forman con el eje ángulos mayores que ∠(AEB), cortarán a DG, y por lo tanto cortarán a la sección ΒC.

Q. E. D.