Si se toma, bajo el eje mayor de una elipse, un punto no ubicado en la prolongación del eje menor, y si, entre las rectas que se tracen desde este punto a la sección, sólo hay una en la que el eje intercepta una recta mínima, esta única recta será mayor que cualquier otra; y la recta más cercana a ella será mayor que la más alejada. Por otro lado, menor recta que se puede trazar desde el punto en cuestión hasta la misma semi-elipse a la cual se traza la recta máxima, será la recta que conecta el punto dado al vértice de la sección más cercano a ese punto.

Sea ABC Paso 1 una elipse cuyo eje mayor es la recta AC Paso 2, y cuyo centro es el punto D Paso 3. Tracemos, por el punto D, la recta BDE perpendicular al eje Paso 4, y tomemos, debajo del eje, un punto F Paso 5 desde el cual sólo se puede trazar una recta, cuya parte interceptada es una recta mínima. Esta recta, en la que se intercepta una recta mínima, debe por lo tanto ser tal que, aparte de ella, no se pueda trazar ninguna otra recta desde el punto elegido hasta la sección. Sin embargo, siempre es posible, en virtud de lo que se ha demostrado en [Prop. V.55], trazar, desde el punto F, una recta cuyo segmento interceptado es una recta mínima, y que corta al otro semieje, es decir a la mitad del eje sobre el cual no cae la perpendicular trazada desde el punto F. Supongamos que la recta trazada desde el punto F hasta la sección ABC, y sobre la que se intercepta una recta mínima, corta al semieje restante CD. Sea FGH esta recta Paso 6, y tracemos la recta de unión FA Paso 7. Digo que la recta FH es la mayor de las rectas que se pueden trazar desde el punto F hasta la sección ABC; que la recta más cercana a cada lado de la recta FH es mayor que la recta más alejada, y que la recta AF es la menor de todas.

Dado que la sección ABC es una elipse, y dado que se ha tomado un punto bajo el eje mayor desde el cual sólo una recta se puede trazar a la sección, cuyo segmento interceptado es una recta mínima, se ha demostrado que las otras rectas mínimas, trazadas desde cualquier punto de la sección al eje, están más alejadas de los vértices A o C que las rectas que conectan estos puntos con el punto F [Prop. V.52]. Desde el punto F a la sección, tracemos las rectas FK, FL, FM Paso 8, y sea la recta AQ tangente a la sección en el punto A Paso 9. Por lo tanto, el ángulo (FAQ) será obtuso. Tracemos la recta AO perpendicular a la recta AF en el punto A Paso 10; esta perpendicular caerá dentro de la sección [Prop. I.32]. También vamos a trazar, por el punto K, la recta PKX tangente a la sección Paso 11. Como la recta mínima, trazada del punto K al eje, está más lejos del punto A que la recta KF, el ángulo (PKF) será agudo [Prop. V.57]. Pero, el ángulo (OAF) es recto; por lo tanto, si se traza la perpendicular desde el punto F Paso 12, se establecerá, por razonamiento como en [Prop. V.64], que la recta AF no es mayor que la recta FK, y que no es igual a ella [Prop. V.64]; de modo que AF < FK. Del mismo modo, como la recta PKX es tangente a la sección Paso 13, el ángulo (XKF) será obtuso, y la recta KY, perpendicular a la recta KF Paso 14, caerá dentro de la sección, porque no se puede trazar ninguna recta que caiga entre la sección y la tangente [Prop. I.22]. Ahora vamos a trazar, por el punto L, la recta LT tangente a la sección Paso 15. Por lo tanto, la recta mínima, trazada por el punto L, estará más alejada del vértice A que la recta LF; por consiguiente, según lo demostrado en [Prop. V.64], FK < FL. Finalmente, si se traza la recta unión FB Paso 16, y si, por el punto B, se traza la recta C'BD' tangente a la sección Paso 17, el ángulo (C'BF) será agudo, porque el ángulo (C'BD) es recto; de modo que AF < FB [Prop. V.64]. También digo que la recta FB es menor que la recta FM.

Tracemos la recta D'MS' tangente a la sección en el punto M Paso 18. Por lo tanto, ya que ABC es una elipse, la perpendicular BDE pasa por el centro D de la sección, y las rectas BD', D'M son dos tangentes, la recta BD' será mayor que la recta D'M [Prop. V.70]. Como, D'B²+BF² < D'M²+MF², ya que el ángulo (D'BF) es obtuso, y el ángulo (D'MF) es agudo; por lo tanto, FB < FM [Prop. V.72]. Se demuestra de la misma manera, es decir, después de trazar la tangente S'NI Paso 19, que FM < FN. Por lo tanto, es claro que las rectas más cercanas a la recta HF son mayores que las más alejadas. Digo, además, que la recta HF es mayor que la recta FN. Tracemos, por el punto H, la recta HI tangente a la sección Paso 20; el ángulo (IHF) por lo tanto será recto [Prop. V.28]. Además, el ángulo (INF) es obtuso, y la tangente NI es mayor que la tangente IH [Prop. V.70]; por lo tanto, HF > FN, y por lo tanto mayor que cualquier recta trazada desde el punto F al arco AH de la sección; mientras que que la recta más cercana a la recta FH será mayor que la recta más alejada. Por otro lado, la línea CF es la menor de las rectas que se puede trazar al arco la parte HC de la sección, tales como las rectas FF', FO', FG' Paso 21. Sea la recta CS tangente a la sección en el punto C; sea la recta CH' perpendicular a la recta CF, que caerá dentro de la sección [Prop. I.32], y sea la recta F'T' tangente a la sección en el punto F'. Ya que, la recta mínima trazada desde el punto F' al eje está más alejada del vértice C que la recta FF'; por lo tanto, el ángulo (T'F'F) será agudo, y, por tanto, FC < FF' [Prop. V.64]. Se prueba de la misma manera que, entre las rectas que se pueden trazar desde el punto F al arco la parte HC de la sección, la más cercana a la recta CF será menor que la más alejada. Como resultado, FF' < FO'. También digo que la recta FO' es menor que la recta FH. En efecto, será menor, o igual o mayor que ella. Supongamos que sea mayor. Tracemos una recta FR, mayor que la recta FH, pero menor que la recta FO', y describamos, con el punto F como centro, y con la recta FR como radio, el círculo RA'B' que se encontrará así con la sección entre los puntos H y O', por ejemplo en el punto A'. Tracemos la recta de unión FA'. Por lo tanto, como la recta FA' está más alejada de la línea FC que la recta FO', FA' > FO'. Ya que FA' = FR entonces FR > FO', lo que es absurdo, pues es manifiestamente menor. Luego, la recta FO' no es mayor que la recta FH. Supongamos que FH = FO', y tracemos entre estas rectas, una recta intermedia tal como FG'. Luego FG' > FO', y por lo tanto FG' > FH. Así que tomemos una recta FE', mayor que la recta FH, pero menor que FG', y describamos, con el punto F como centro, con la recta FE' como radio, el círculo EK'N' que se encontrará con la sección entre los puntos H y O'. Supongamos que se encuentran en el punto K', y, entonces, la recta de unión FK' será mayor que la recta FG', ya que está más alejada de la recta FC. Ya que FK' = FE'; entonces, FE' > FG'. Sin embargo, hemos supuesto que es menor, lo cual es absurdo. Por lo tanto, FO' < FH. En consecuencia, la recta FH es mayor que cualquier otra recta que tracemos desde el punto F hasta la sección ABC, y la recta más cercana a ella es mayor que la más alejada. Ya que, la recta FC es la menor de las rectas que se pueden trazar desde el punto F hasta el arco CH de la sección, mientras que la recta FC > FA; entonces la recta FA es menor que cualquier recta que se pueda trazar desde el punto F hasta la sección ABC, así la recta FH es la mayor de estas rectas.

Q. E. D.