Ahora sea una hipérbola o una elipse AB Paso 1, cuyo eje es BC Paso 2, y cuyo centro es el punto C. Levantemos, en el eje, una perpendicular DE Paso 3, de modo que la recta BE no sea mayor que la mitad del lado recto, y tracemos, desde un punto cualquiera D de la recta DE, una recta tal como DFA Paso 4. Digo que AF no es una recta mínima, y que la recta mínima trazada desde el punto A cortará una porción del eje, mayor que la recta BF. Además, en el caso de la elipse, la perpendicular debe caer en el eje mayor y que la recta trazada se encuentra con el semieje en el que cae la perpendicular.

En efecto, tracemos la perpendicular AG Paso 5. Por lo tanto, ya que BE ≤ lado recto, y CB = diámetro transverso, diámetro transverso/lado recto ≤ CB/BE. Sin embargo, CG/GE > CB/BE; por lo tanto, CG/GE > diámetro transverso/lado recto. Por lo tanto, hagamos que GC/GH = diámetro transverso/lado recto, y la recta AH será mínima [Prop. V.9, Prop. V.10] Paso 6. Por consiguiente, la recta AF no es mínima [Prop. V.25]. Pero la recta mínima desde el punto A corta una porción del eje, mayor que la recta BF.

Q. E. D.