Si desde un punto, situado debajo del eje de una parábola o hipérbola, se traza una recta hasta el vértice de la sección que forma un ángulo agudo con el eje, y tal que no es posible trazar desde este punto a la sección una recta cuyo segmento interceptado entre el eje y la sección es una recta mínima, o si sólo una de las rectas trazadas desde ese punto a un lado del eje, que es diferente del lado en el que está el punto, puede haber cortado de él [entre el eje y la sección] una recta mínima: entonces la recta trazada desde ese punto hasta el vértice de la sección es la menor de las rectas trazadas desde ese punto hasta ese lado de la sección, y, de las restantes rectas, las que más cercanas a ella son menores que las más alejadas.

Sea, en primer lugar, una parábola tal como ABC Paso 1, cuyo eje es la recta AE Paso 2, y sea dado un punto F por debajo del eje Paso 3, de manera que el ángulo ∠(FAE), formado por la recta trazada desde este punto hasta el vértice de la sección, y por el eje AE, sea agudo Paso 4. Supongamos que no es posible trazar a la sección una recta cuyo segmento interceptado entre la curva y el vértice es una recta mínima. Digo que la menor de todas las rectas que se puede trazar desde el punto F a la sección AC es la recta AF, y que las rectas trazadas más cercanas a esta última son menores que la más alejadas.

Eso se demostrará después de que primero probemos que cuando las rectas trazadas desde el punto F a puntos de la sección, en el en el caso de que el segmento interceptado entre el eje y la sección de ninguna de estas rectas sea una recta mínima, entonces las rectas mínimas trazadas desde los puntos de la sección [a la que estas rectas fueron trazadas] y cayendo sobre el eje caen en el lado de las rectas que fueron trazadas desde el punto F que está más lejos del punto A.

Haremos la demostración de la siguiente manera: Tracemos la perpendicular FE Paso 5; entonces la recta AE será igual a la mitad del lado recto, o mayor o menor. Supongamos primero que AE≤1/2(lado recto). Entonces, de todas las rectas trazadas desde el punto F hasta la sección, no habrá ninguna cuyo segmento interceptado entre entre la sección y el eje es una recta mínima; pero, las rectas mínimas trazadas al eje, desde los extremos que estas últimas rectas tienen en la sección, caerán en un lado más alejado del punto A que las rectas trazadas desde el punto F [Prop. V.49].

Supongamos, ahora, que AE > 1/2(lado recto) y que EH = 1/2(lado recto) Paso 6. Además, que HG = 2AG, y tracemos desde el punto G la recta perpendicular GB a la recta AE Paso 7. Finalmente, sea EL una recta tal que EL/GB = HG/HE Paso 8. Entonces, la recta FE será igual a la recta EL, o menor, o mayor que esta recta. Ahora bien, es obvio que FE no es igual a la línea EL; pues cuando la recta EL es igual a la línea EF, entonces se puede trazar una sola recta desde el punto F de tal manera que la parte de ella interceptada entre la sección y el eje es una recta mínima [Prop. V.51]; pero hemos afirmado que no se puede trazar ninguna recta desde el punto F de tal manera que la parte de ella interceptada entre la sección y el eje es una recta mínima. Así que la recta EL no es igual a la recta EF.

Estableceríamos de la misma manera que la recta EF no puede ser más pequeña que la recta EL. Porque, si la recta EF fuese más pequeña que la recta EL, se podrían trazar dos rectas, para cada una de las cuales la parte interceptada entre la sección y el eje es una recta mínima [Prop. V.51]; lo cual es contrario a la hipótesis, ya que estamos suponiendo que no se puede trazar desde el punto F una recta en la que se intercepte una recta mínima. En consecuencia, la recta FE no es más pequeña que la recta EL, y como no es igual a ella, será más grande que ella.

Y también se demostró en [Prop. V.51] que, cuando la recta FE es mayor que la recta EL, entonces no se puede trazar ninguna recta desde el punto F de tal manera que la parte interceptada entre la sección y su eje sea una recta mínima, y que, para las rectas trazadas desde el punto F a la sección, cuando se trazan las rectas mínimas desde sus extremos hasta el eje, caen sobre el eje [eliminado] de esas [primeras] rectas en el lado más alejado del punto A.

Por consiguiente, si la línea AE es igual a la mitad del lado recto, o si es inferior a la mitad del lado recto, o incluso si la línea AE es mayor que la mitad del lado recto, siendo la recta FE al mismo tiempo mayor que la recta EL, todas las rectas trazadas desde el punto F hacia la sección se encontrarán con el eje en un punto más cercano al vértice A que las rectas mínimas trazadas desde los extremos de estas rectas.

Habiendo establecido esto, digo que la recta FA es la menor de las rectas trazadas desde el punto F hacia la sección, y que la recta más cercana a ella es menor que la recta más alejada de ella.

Tracemos las rectas FB, FC Paso 9, y supongamos, en primer lugar, que AF = BF. Tracemos la recta AK tangente a la sección en el punto A Paso 10; esta recta AK será perpendicular al eje AE, porque es paralela a las rectas trazadas de forma ordenada al el eje [Prop. V.17]; de modo que el ángulo ∠(FAK) es obtuso. Tracemos una recta tal como AN, perpendicular a la línea AF Paso 11; caerá en el interior de la sección, ya que es imposible trazar una recta situada entre la tangente y la sección [Prop. I.32] Vamos también a trazar, por el punto B, la recta BQ tangente a la sección Paso 12. Además, la recta mínima trazada desde el punto B hasta el eje estará más alejada del punto A que la línea BF, por lo que que hemos estado demostrando últimamente. Ya que, esta recta mínima forma un ángulo recto con la tangente BQ [Prop. V.27]; entonces, el ángulo ∠(FBQ) será agudo. Si ahora describimos un arco de un círculo con centro F y radio BF, como AF=BF, entonces la tangente BQ a la parábola, que forma un ángulo agudo con BF, será secante al círculo de radio BF, mientras que AN, que forma un ángulo recto con AF, será tangente al círculo de radio BF=AF. Por lo tanto, si este círculo es la curva BQOA Paso 13, se cortará con la sección. Sea O el punto de encuentro; tracemos la recta unión OF Paso 14, y sea OP la tangente a la sección, que necesariamente cae fuera del círculo Paso 15. Por lo tanto, ya que la recta mínima trazada desde el punto O hasta el eje está más alejada del vértice A que la recta OF, y que esta recta mínima forma un ángulo recto con la tangente OP [Prop. V.27], se deduce que el ángulo ∠(FOP) será agudo, y que, como resultado, la recta OP debe cortar al círculo. Ya que, esta recta cae fuera del círculo; lo cual es absurdo; por lo tanto, la recta AF no es igual a la recta BF.

Supongamos ahora que AF > FB, y describamos el círculo del centro F y el radio FB, que por lo tanto se encontrará con la recta AF. Por lo tanto, una parte de la tangente BQ estará dentro del círculo, ya que ha sido demostrado anteriormente que el ángulo ∠(FBQ) es agudo, y por lo tanto el círculo cortará necesariamente a la sección, porque corta a la recta AF. Sea BIT este círculo Paso 16; tracemos la recta de unión FI Paso 17, y tracemos, por el punto I, la tangente IR a la sección Paso 18; tangente que caerá siempre dentro del círculo, porque que la recta mínima, interceptada entre el punto I y el eje, cae por un lado más alejado del punto A que la recta IF, y que, como resultado, el ángulo ∠(FIR) es agudo. Por lo tanto, la recta IR debe encontrarse con el círculo. Ya que, está claro que esta recta debe estar completamente fuera del círculo. del círculo; lo cual es absurdo. Por lo tanto, la recta AF no es mayor que la línea BF, y no es igual a ella; por lo tanto es menor que esta recta.

Digo, además, que las rectas más cercanas a la recta AF son menores que las más alejadas.

En efecto, prolonguemos la tangente QB hasta el punto S Paso 19. Ya que la recta BQ es tangente a la sección en el punto B, y que el ángulo ∠(FBQ) es agudo, el ángulo adyacente, es decir, el ángulo ∠(FBS), será obtuso, y tracemos por el punto B, perpendicular a la recta BF, la recta BM Paso 20 que caerá en el interior de la sección. Tracemos, desde el punto C, la tangente CS a la sección Paso 21, y supongamos primero, que la la recta BF es igual a la recta CF. Describamos el círculo con el centro F y de radio FC Paso 22; círculo que por lo tanto caerá más allá de la recta CS, porque el ángulo ∠(FCS) es agudo, y caerá por debajo de la recta BM, porque la recta BM es perpendicular a la recta BF; de modo que el círculo cortará a la sección. Si ahora trazamos una recta que une el punto de intersección del círculo con el punto F, obtenemos una contradicción de la misma manera que hemos demostrado que la igualdad de las rectas AF, FB era absurda.

Si suponemos que la recta FB es mayor que la recta FC, se demostrará, razonando de la misma manera, que hay un absurdo, como para las rectas AF, FB, cuando hemos supuesto que la recta AF era mayor que la recta BF. Por lo tanto, la recta AF es la menor que puede trazar desde el punto F a la sección ABC, y la recta que está más cercana es menor que la que está más alejada.

Por lo tanto, está claro que, si la posición del punto F es tal que no se puede trazar a la sección una recta en la que el eje corta una recta mínima y el ángulo ∠(FAE) es agudo, la línea recta AF será menor que toda otra recta que se pueda trazar desde el punto F a la sección, y la más cercana a la recta AF será menor que la más alejada de ella.

Además, se demostrará en [Prop. V.67], que, si sólo se puede trazar una recta desde el punto F en la que se intercepta una recta mínima, y que, si el ángulo ∠(FAE) es agudo, la recta AF es menor que cualquier otra recta trazada desde el punto F hasta la sección, y que la recta más cercana es menor que la más alejada.

Q. E. D.