Si embargo, si la perpendicular trazada desde el punto dado cae al otro lado, es decir, más allá del centro de la hipérbola,
como la recta CD , donde E es el centro de la hipérbola , y asegurémonos de que EF/FD = diámetro transverso/lado recto .
Asegurémonos también de que CG/GD = diámetro transverso/lado recto ; tracemos la recta GH paralela al eje DE , y tracemos las rectas
FK, EM paralelas a la línea CD .
Describamos, por el punto E, bajo las asíntotas HK, KF, una hipérbola [Prop. IV.2] que encontrará a la sección AB .
Supongamos que la encuentra en el punto A, y sea AE esta hipérbola. Tracemos la recta de unión CA, y prolonguémosla
hasta el punto L ; digo que AL es una recta mínima.
Tracemos la recta HAO perpendicular al eje DO . Ya que CG/GD = diámetro transverso/lado recto y EF/FD=diámetro transverso/lado recto,
se tiene que CG/GD=EF/FD, luego, CG·FD = EF·GD, o, CG·GK = KM·ME. Pero KM·ME = KH·HA [Prop. II.12], luego
CG·GK = KH·HA, y, por lo tanto,
AH/CG = GK/KH. Ya que, por la semejanza de los triángulos △(AHN) y △(CGN), AH/CG = HN/NG, entonces, GK/KH = HN/NG,
de donde (GK+KH)/KH = (HN+NG)/NG, o, GH/KH = GH/NG, luego KH=NG, de donde FO=NG y LD/NG=LD/FO.
Ya que LD/NG=LC/CN=DC/CG, se tiene que LD/FO=DC/CG. Como CG/GD=EF/FD, entonces CG/(CG+GD)=EF/(EF+FD),o, CG/DC=EF/DE, de donde,
DC/CG=DE/EF. Entonces LD/FO=DE/EF, de donde (LD-DE)/(FO-EF)=DE/EF, o, LE/EO=DE/EF, de donde (LE-EO)/EO=(DE-EF)/EF, o,
OL/EO=FD/EF, de donde EO/OL=EF/FD; por tanto EO/OL=diámetro transverso/lado recto.
Por lo tanto, la recta AL será una recta mínima [Prop. V.9].
Q. E. D.