Si se toma un punto en una recta máximal que, es trazada en una
elipse, bajo las condiciones de la proposición anterior, y se prolonga más allá del eje menor,
la mayor de las rectas que uno puede trazar desde este punto a la misma parte de la sección, es la recta
de la cual forma parte la recta máxima; y la más cercana a cada lado de esta última es mayor que
la más alejada.
Sea ABC una elipse cuyo eje menor es la recta AC , y sea BD la recta máxima
trazada desde un punto D a la sección de la manera que ha sido descrita en la proposición anterior .
Tomemos, sobre la recta BD,
un punto E tal que EB > BD .
Digo que la recta EB es la mayor de las rectas que se pueden trazar desde el punto E a la sección,
y que la más cercana, a uno y otro lado, es mayor que la más alejada.
Tracemos las rectas EF, EG, EC , y tracemos las rectas de unión
DF, DG, DC , así como las rectas de unión CG, GF, FB . Entonces,
ya que DB > DF, ∠(BFD) > ∠(FBD), y por tanto ∠(BFE) > ∠(FBE); de manera que BE>EF.
Paralelamente, ya que DF > DG, ∠(DGF) > ∠(DFG); de manera que ∠(FGE) > ∠(EFG), y, por consiguiente,
FE > EG. De la misma manera, se prueba que EG > EC. En consecuencia, la recta
EB es la mayor de todas las rectas que se pueden trazar desde el punto E a la misma porción de sección,
y la más cercana será mayor que la más alejada.
Siempre, se demuestra la misma cosa, de la misma manera, si la recta máxima se traza desde el punto A, o por otro
punto cualquiera tomado en la prolongación del eje AC.
Q. E. D.