Si,
en una de las tres secciones, se toma, sobre la recta mínima
que acaba de determinarse, un punto desde donde se trazan
secantes a esta sección, la menor de estas rectas será la que conecta
el punto con el vértice de la sección, mientras que entre las otras rectas
trazadas
a un mismo lado del eje, la más cercana es menor que la más alejada.
Sea ABCD una sección cónica cuyo eje es la recta DG , y
sea, sobre este eje, la recta mínima DE (esto es, DE=1/2(lado recto)) .
Tomemos, entre los points D y E, un punto cualquiera F , desde el que
trazamos rectas cualesquiera a la sección FC, FB, FA . Digo que
la recta DF es la menor de estas rectas, y que la más cercana
es menor que la más alejada.
En efecto, tracemos la recta de unión CE , que será mayor que la recta DE.
Entonces ∠(CDE) > ∠(DCE), y, por tanto, ∠(FDC) > ∠(DCF) ;
de manera que CF > FD. Paralelamente, ya que BE > CE, ∠(BCE) > ∠(CBE),
de donde, por tanto, ∠(BCF) > ∠(FBC) ; de manera que
BF > FC. Análogamente se demuestraría que AF > BF . Entonces, la recta
DF será la menor de las que son trazadas desde F a la sección, mientras que, entre las otras,
la más cercana a la recta DF será menor que la más alejada.
Q. E. D.