Sea la sección una elipse tal como ABC Paso 1, cuyo eje mayor es la recta AC Paso 2, y cuyo centro es el punto D Paso 3; tomemos, bajo el eje mayor un punto F Paso 4 tal que el ángulo ∠(FAC) sea agudo Paso 5; levantemos, desde el centro D, la recta DS perpendicular al eje Paso 6, y que el punto F sea de tal manera que no puede trazar al cuadrante AS de la sección una recta en la cual la parte interceptada entre la sección y el eje es una recta mínima. Digo que la recta AF es menor que cualquier otra recta que se trace desde el punto F a la parte AS de la sección, y que la recta más cercana es menor que la más alejada.

Es importante, sin embargo, que la perpendicular trazada desde el punto F sobre el eje caiga entre los puntos A, D; porque, no puede caer entre puntos D, C, de lo contrario sería posible trazar desde el punto F a la sección, una recta en la cual la parte interceptada entre el eje y la sección es una recta mínima [Prop. V.55]. Ahora bien, hemos supuesto que esto no puede suceder; por lo tanto, la perpendicular no caerá entre los puntos D, C. Tampoco caerá en el centro D, porque si cae en el centro D, y si la prolongamos hasta la sección, su porción interceptada entre la sección y el eje sería una recta mínima [Prop. V.11]. Que esta recta por lo tanto se encuentra con la recta AD a la manera de la perpendicular FE y la recta AE o bien será igual a la mitad del lado recto, o bien será menor o bien mayor que la mitad el lado recto.

Si la recta AE es menor que la mitad del lado recto, o si es igual, es obvio que sería imposible que rectas mínimas fueran interceptadas de cualquier recta trazada desde el punto F a la sección, pero que las rectas mínimas trazadas al eje desde los extremos de las rectas que van en esta dirección, estarían más elejadas que ellas del vértice A [Prop. V.52].

Si la recta AE es mayor que la mitad del lado recto Paso 7, asegurémonos de que DH/HE = diámetro transverso/lado recto Paso 8; tomemos dos rectas GD, DK medias proporcionales a las rectas AD, DH [Prop. V.52] Paso 9; tracemos por el punto G, la recta GB paralela a la tangente en el punto A Paso 10; luego perpendicular al eje AC; por último, asegurémonos de que EL/GB = DE·HG/DG·HE Paso 11. Por lo tanto, la recta FE Paso 12 será igual a la recta EL, o mayor o menor que esta recta. Si la recta EF fuera igual a la línea EL, no se podría trazar desde el punto F hasta la sección AS más que una recta sobre la que se intercepta una recta mínima [Prop. V.52]. De manera que la recta EF no puede ser igual a la recta EL. La recta EF tampoco puede ser menor que la recta EL; porque, se podrían trazar dos rectas sobre las que se interceptarían rectas mínimas [Prop. V.52]. En consecuencia, la recta EF debe ser mayor que la recta EL; en cuyo caso no se puede trazar ninguna recta desde el punto F a la sección AS, cuya parte interceptada sea una recta mínima, y en la que, cualquier recta que se trace desde ese punto F hasta la sección, la recta mínima, interceptada entre el extremo de esta recta y el eje estará más lejos del vértice A que esta recta trazada desde el punto F [Prop. V.52]. Por lo tanto, se ha demostrado en todos los casos posibles que las rectas mínimas que se trazan desde cada punto de la sección AS al eje están más alejadas del punto A que las rectas que unen esos puntos al punto F A continuación podemos probar, como hicimos en el caso de la parábola [Prop. V.54], que la recta AF es menor que todas las otras rectas trazadas desde punto F a la sección AS, y que, de las restantes rectas, las más cercanas son menores que las que más alejadas. Y la demostración de ello es una y la misma para las tres secciones, ahora que hemos probado, para cada una de las secciones, que las rectas mínimas trazadas desde puntos de la sección al eje caen sobre el lado que está más lejos del punto A que las propias rectas que unen estos puntos al punto elegido F.

Q. E. D.