Si, tomamos, en el eje menor de una elipse, un punto cuya distancia
al vértice de la sección es mayor que la mitad del lado recto,
la recta máxima que se puede trazar desde este punto hasta la sección será
la que se traza al vértice de la sección y, entre las otras rectas,
la más cercana a esta última será mayor que
la más alejada.
Sea ABC una elipse cuyo eje menor es la recta AC , y tomemos,
en esta recta, un punto D tal que la recta CD sea mayor que
la mitad del lado recto . Digo que la recta CD es la mayor de las
rectas trazadas desde el punto D a la sección, y la más cercana es mayor que la más alejada.
En efecto, sea CG = 1/2(lado derecho) ; tracemos,
desde el punto D, rectas DF, DE, DB , y tracemos las rectas de unión
GF, GE, GB , así como las rectas de unión CF, FE, EB . Entonces,
CG > FG [Prop. V.16, Prop. V.17 y Prop. V.18]; de manera que ∠(CFG) > ∠(FCG) [Euclides:Prop. I.19],
por lo tanto, ∠(CFD) > ∠(FCD), en
consecuencia, CD > FD [Euclides:Prop. I.18]. Del mismo modo, ya
que GF > GE, ∠(FEG) > ∠(EFG) y, por tanto,
∠(FED) > ∠(EFD). Entonces,
DF > DE. Razonando de manera análoga,
demostramos que DE > DB.
Por lo tanto, la recta DC es la mayor de las rectas trazadas desde el
punto D a la sección, y la más cercana es mayor
que la más alejada.
Q. E. D.