La mínima distancia del centro a un punto de la elipse es el semieje menor, la máxima el semieje mayor, y la diferencia entre el cuadrado de cualquier otra recta así trazada y el del semieje menor equivale al rectángulo construido sobre la ordenada de la recta, semejante al que tiene por lados el eje menor y la diferencia entre este y el parámetro.

Sea ABC Paso 1 una elipse cuyo eje mayor es la recta AC Paso 2, el eje menor la recta BD Paso 3 y el centro el punto E Paso 4. Digo que la recta EC es la mayor de las rectas trazadas desde el punto E en la sección; que la recta EB es la menor; que la más cercana a la recta EC es mayor que la más alejada de ella, y que la diferencia entre el cuadrado de una de estas rectas y el cuadrado de la recta BE es equivalente al rectángulo que, construido sobre la recta interceptada sobre el eje AC, entre el pie de la perpendicular y el centro E, semejante al rectángulo de lados AC y la diferencia de esta recta y su lado recto.

En efecto, tracemos las rectas EF, EG Paso 5; bajemos perpendiculares FI, GP Paso 6 y tomemos CH=½(lado recto) Paso 7. Por lo tanto, CH < CE. Sea CK = CE; tracemos las rectas de unión HE, EK Paso 8y prolonguemos las rectas GP, FI hasta los puntos O, Q Paso 9. Finalmente, tracemos las rectas ML, NQ paralelas al eje AC Paso 10. Entonces, EC/CK = EI/IQ. Pero, EC = CK; por lo tanto, las líneas EI = IQ. Por otro lado, IF²=2⏢(CHIL) [Prop. V.1]. Como IE²=IE·QI=2△(EIQ)= 2(△(EIL)+△(ELQ)); luego, IF²+IE²=2(⏢(CHIL)+△(EIL)+△(ELQ)), o, FE²=2(△(ECH)+△(ELQ)). Como, EB²=2△(ECH) [Prop. V.2], entonces FE²-EB²=2△(ELQ)= =LM·LQ=EI·LQ. Como CH=½(lado recto), luego CE/CH=diam.trans./lado recto=AC/2CH, o, ya que CK=CE, tenemos que CK/CH=AC/2CH. Como, QI/IL = CK/2CH, se tiene que QI/IL = AC/2CH, de donde QI/(QI-IL)=AC/(AC-2CH), o, EI/LQ=AC/(AC-2CH), de donde LQ=EI((AC-2CH)/AC). Entonces FE²-EB²=EI²((AC-2CH)/AC).

De manera análoga se tiene EG²-EB²=EP²((AC-2CH)/AC).

Al razonar de la misma manera, se tiene que EC²=EC·CK=2△(CEK) y EB²=2△(CEH) [Prop. V.2], luego EC²-EB²=2(△(CEK)-△(CEH))= 2△(HEK)=EC·HK. Como, el rectángulo de lados CE y HK es semejante al rectángulo de lados AC y AC-2CH, es decir, CK/CE = (AC-2CH)/AC, entonces CK=CE((AC-2CH)/AC), luego EC²-EB²=EC²((AC-2CH)/AC).

Las relaciones anteriores dan EC²-EC²((AC-2CH)/AC) = EG²-EP²((AC-2CH)/AC) = FE²-EI²((AC-2CH)/AC). Como EG > EP > EI, entonces EC > EG > EF > EB.

Por lo tanto, la recta EC es la mayor de las rectas trazadas desde el punto E, mientras que la recta EB es la menor. Por otro lado, de las rectas trazadas entre las rectas EC y EB, la más cercana a EC es mayor que la más alejada, y la diferencia del cuadrado de una recta cualquiera y el cuadrado de la recta EB es equivalente al rectángulo que, construido sobre la recta interceptada entre el pie de la perpendicular al AC y el centro de la sección, es semejante al rectángulo que dijimos arriba; cosas que han sido demostradas.

Q. E. D.