Por otra parte, si la sección AB es una hipérbola o una elipse
de eje BL y centro C , y si se da un punto D en la situación antes indicada , digo que se puede trazar una recta mínima por el punto D.
Tracemos la perpendicular DE perpendicular , y hagamos que CH/HE = DF/FE = diámetro transverso/lado recto .
Además, tracemos, por el punto F, la recta GK paralela al eje BC , y la recta GHQ paralela a la recta DE .
Describamos por el punto D, bajo las asíntotas GQ, GK, la hipérbola AD [Prop. IV.2] que se encontrará con la hipérbola o la
elipse dada . Sea A el punto de encuentro, y prolonguemos la recta de unión hasta los puntos L, Q . Digo que AL es una recta mínima.
La recta AM paralela a la recta GH corta al eje en el punto M y a la recta GF en el punto P . Ya que QA=DK [Prop. II.8], luego GP=KF, o HM=FK. Tracemos, desde el punto L, la recta OL perpendicular a la recta KG . Por otra parte, por semejanza de los triángulos △(KFD) y △(KOL), se tiene que
FK/KO=DF/OL, y ya que OL=FE, KO=EL-FK en la hipérbola y KO=FK-EL en la elipse, entonces FK/(± EL∓ FK)= DF/FE,
de donde, ya que HM=FK, HM/(± EL∓ HM)= DF/FE. Ya que, DF/FE=CH/HE=diámetro transverso/lado recto;
luego HM/((± EL∓ HM)=diámetro transverso/lado recto, de donde (CH∓ HM)/(HE± (± EL∓ HM))=CH/HE, o, CM/ML=CH/HE=diámetro transverso/lado recto,
por tanto AL es una recta mínima [Prop. V.9, Prop. V.10].
Q. E. D.