Supongamos ahora que la sección ABC es ahora una parábola o una hiperbola , cuyo eje es la recta DE ;
tomemos un punto tal como F, por debajo del eje ; que el ángulo (FAE) es agudo ,
y que es posible trazar desde el punto F una única recta cuya parte interceptada es una recta mínima.
Digo que, en este caso, la recta AF es menor que cualquier otra recta trazada desde el punto F a la sección ABC,
y que la más cercana a ella es menor que la más alejada de ella.
Tracemos, desde el punto F, la recta FE perpendicular al eje . Digo
que, si una recta cualquiera parte del punto F hasta la sección ABC,
excepto una, la recta mínima, trazada desde el extremo de esta recta al eje,
se alejará más del vértice A que la recta trazada desde el punto F; de modo que en la parábola,
o en la hipérbola, la recta AE será mayor que la mitad del lado recto.
Pues, si esa recta no fuera mayor que la mitad del lado recto,
sería imposible trazar desde el punto F una recta en que fuese interceptada una recta mínima [Prop. V.49,Prop. V.52].
Como resultado, la recta EA es mayor que la mitad del lado recto.
Si es una parábola, eliminemos de la recta AE,
desde el punto E, una recta igual a la mitad del lado recto, y
asegurémonos de que encontramos, la recta EL con la que se comparará la recta EF [Prop. V.54].
La recta EF será igual a esta última recta; pues no puede ser más pequeña que ella, ya que,
contrariamente a la hipótesis, sería posible trazar, desde el punto F a la sección,
dos rectas en las que el eje interceptaría rectas mínimas [Prop. V.51]. La recta FE no será mayor que
que la recta en cuestión, dado que, en estas condiciones, no se podría trazar desde el punto F
ninguna recta de la cual la parte interceptada fuera una recta mínima [Prop. V.51].
Por lo tanto, la recta EF será igual a la recta en cuestión.
Habiendo establecido esto, resulta claro que no es posible
trazar desde el punto F más que una recta cuya parte interceptada
entre la sección y el eje es una recta mínima, y que todas las demás rectas mínimas
que salen de los extremos de las rectas que emanan del punto F
están más alejadas del vértice A que estas rectas [Prop. V.51].
Se demuestra lo mismo si la sección es una hipérbola cuyo centro es el punto D.
Dividamos la línea DE para que sus segmentos estén
en la razón del diámetro transverso al lado recto, y hagamos las otras
construcciones de la misma manera que en [Prop. V.65] para encontrar la recta EL que se utilizará como término de
comparación con la recta FE. Por lo tanto, si la recta FE fuese
igual a la recta encontrada EL, se establecería, razonando como para
la parábola, que desde el punto F sólo se puede trazar una
recta en la que se intercepta una recta mínima; y es claro,
que, si se
trazan desde el punto F rectas cualesquiera a la sección, las rectas trazadas
desde sus extremos hacia el eje estarán más alejadas
del vértice A que las rectas trazadas [Prop. V.52].
Entonces, se verifican todas las mismas cosas que en la parábola.
Sea ahora FB la única recta , trazada por el punto F a la sección ABC,
sobre la que el eje intercepta una recta mínima, y tracemos a la sección, entre los
puntos A, B, dos rectas tales como FO, FP .
Entonces, se tiene, de la misma manera que hemos demostrado en [Prop. V.64], que la recta AF es la menor de las
rectas trazadas desde el punto F hasta la sección, y que,
si rectas cualesquiera FO, FP van a la sección entre los puntos A, B,
la que es más cercana a la recta AF es menor que la más alejada.
Digo, además, que la recta FP es menor que la recta FB.
Pues, si no es menor, entonces supongamos primero que sea igual, y
tracemos una recta FK entre estas rectas . Entonces, la recta FK será mayor que la recta FP, en virtud de lo que acabamos de demostrar.
Por lo tanto, tomemos, sobre la recta FK, la recta FT' ,
mayor que la recta FB, pero menor que la recta
FK; describamos el círculo del centro F y el radio FT', tal como
el círculo NT', que se encuentra con la recta FK en el punto T', y con la sección en el
punto N , entre los puntos K y B; por último, tracemos la recta de unión
FN . Ya que, la recta KF está más cerca de la recta AF que la
recta FN; entonces FK < FN, es decir FK < FT';
lo cual es absurdo. Por lo tanto, es absurdo suponer que la recta FK es
mayor que la recta FB; de modo que las rectas FP, FB no son iguales.
Ahora supongamos que la recta FP es, si es posible,
mayor que la recta FB; tomemos, sobre la recta FP, una recta tal como
FT , mayor que FB, pero menor que FP, y describamos
el círculo de centro F y el radio FT , que se encuentra con la recta FP, y
que necesariamente encuentra a la sección entre los puntos P y B. Que
este encuentro se haga a la manera del arco TIL, y tracemos la recta de
unión FI . Entonces, FP < FI,
porque está más cerca de la recta AF que la recta FI.
Pero, FI = FT; así que FP < FT, lo cual es absurdo. Por consiguiente,
la recta FP no es mayor que la recta FB, y
no es igual, como acabamos de demostrar; por lo tanto, es menor.
Entonces, es obvio que todas las rectas trazadas desde el
punto F de la sección, entre los puntos A y B, son menores que la recta FB.
Ahora tracemos rectas FO', FS' a la parte restante BC de
la sección, al otro lado de la recta FB ; digo que la recta FB
es menor que la recta FO', y la recta FO' menor que la recta FS'.
Tracemos las rectas O'D', S'C' tangentes a la sección ; los ángulos (FO'D'), (FS'C') serán por lo tanto obtusos,
porque las rectas mínimas, trazadas desde
los puntos O', S' al eje, están más lejos del vértice A que las rectas,
trazadas desde el punto F a cualquiera de estos puntos.
Sea O'R la perpendicular a la recta FO' en el punto O' ; también caerá en el interior de
la sección; de manera que es evidente, que
FO' < FS' [Prop. V.64], y que, como resultado, las rectas
trazadas por el punto F, al otro lado de la recta BF, más cercanas,
del vértice A, también son menores
que las más alejadas. Digo, además, que la derecha FB es la menor de todas,
estas últimas rectas.
En efecto, como el eje intercepta una recta mínima
en la recta FB, el ángulo comprendido bajo la tangente trazada por
el punto B y bajo la recta FB será recto. Supongamos primero que la
recta FB es igual a la recta FO', y tracemos, en su
intervalo, una recta FX . La recta FX será menor que la recta
FO', es decir, menor que la recta FB, pero mayor que la recta AF.
Así que tomemos una recta FQ , menor que
que recta FB, pero mayor que la recta FX, y describamos el
círculo de centro F y radio FQ, que por consiguiente se encontrará con la
sección entre los puntos B, X.
Sea MQ'Q el círculo que se encuentra con la sección
en el punto Q', y tracemos la recta de unión FQ' . Entonces, la recta FQ' será menor que la recta FX, porque está más cerca de la recta AF; de modo que la recta FM, igual a la recta FQ', sería
menor que la recta FX. Por lo tanto, es absurdo que la recta FQ sea mayor que la recta FX; por lo tanto, la recta FO' no es igual a la línea FB.
Supongamos, que ella es menor.
Tomemos una recta FS mayor que la recta FO', pero menor que la recta FB,
y describamos el círculo del centro F y el radio FS,
que se encuentra con la sección entre los puntos B, O'.
Que este encuentro tenga lugar en el punto Y, sea que es SYH este círculo ,
y tracemos la recta de unión YF .
La recta YF será por lo tanto menor que la recta FO', porque está
más cerca de la recta AF. Pero la recta YF es igual a la recta
FH; por lo tanto, la recta FH es menor que la recta FO'. Ya que, por
hipótesis, esta primera recta es mayor que la segunda;
lo que es absurdo; por lo tanto, la recta FO' no es menor que la recta
FB. Sin embargo, hemos demostrado que estas rectas no son iguales.
Por lo tanto, la recta FB es menor que la recta FO'. Por lo tanto, la
recta BF es menor que cualquier recta que tracemos desde el punto F
a la parte BC de la sección. Por lo tanto, resulta de esto y de lo anterior
que la recta AF es menor que todas las rectas que se
pueden trazar a la sección ABC, y que la recta más cercana es menor que la más alejada de ella.
Q. E. D.